（天津专用）2020版高考数学大一轮复习 6.4 数列的综合应用精练

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1、6.4　数列的综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法2017天津,182015天津,182015天津文,18错位相减法求数列的和等比数列及前n项和★★★2016天津文,18分组转化法求数列的和2.数列的综合应用1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题2.能处理数列与函数,数列与不等式等综合问题2018天津,18裂项相消法求数列的和等差、等比数列的通项公式★★★20

2、14天津,19等比数列求和不等式证明2013天津文,18等差数列、等比数列与函数数列的基本性质分析解读　　综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列的应用主要从以下几个方面考查:1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.破考点【考点集训】考点一

3、　数列求和1.已知数列{an},{bn},其中{an}是首项为3,公差为整数的等差数列,且a3>a1+3,a4

4、1+a5+a9a2+a3=(　　)A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7答案　B　4.数列{an}满足:an-1+an+1>2an(n>1,n∈N*),给出下列命题:①若数列{an}满足a2>a1,则an>an-1(n>1,n∈N*)成立;②存在常数c,使得an>c(n∈N*)成立;③若p+q>m+n(其中p,q,m,n∈N*),则ap+aq>am+an;④存在常数d,使得an>a1+(n-1)d(n∈N*)都成立.上述命题正确的是　　　　.(写出所有正确命题的序号) 答案　①5.已知数列{an}

5、的前n项和Sn=n2+n2,等比数列{bn}的前n项和为Tn,若b1=a1+1,b2-a2=2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求满足Tn+an>300的最小的n值.解析　(1)a1=S1=1,n>1时,an=Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n,又n=1时,a1=1,所以an=n成立,∴an=n(n∈N*),则由题意可知b1=2,b2=4,∴{bn}的公比q=42=2,∴bn=2n(n∈N*).(2)∵Tn=2×(1-2n)1-2=2×(2n-1),∴Tn+an=2×

6、(2n-1)+n,∴Tn+an随n的增大而增大,又T7+a7=2×127+7=261<300,T8+a8=2×255+8=518>300,∴所求最小的n值为8.炼技法【方法集训】方法1　错位相减法求和1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求证:数列Snn为等差数列;(2)令bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解析　(1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得Sn+1n+1-Snn=1,又S11=5,所以数列Snn是首项为5,公差为1的等

7、差数列.(2)由(1)可知Snn=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5也符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+(2n+3)2n,①2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,②由②-①得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-23(1-2n-1

8、)1-2=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.2.已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n项和Tn.解析　(1)设数列{an}的公比为q,因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.因为a3+2是a2和a4的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4,即2(4q