第五节　直线、平面垂直的判定及其性质

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1、第五节　直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线．③垂直于同一条直

2、线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．3．二面角的有关概念17/17(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．

3、(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)17/17(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．下列命题中不正确的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，

4、那么l⊥γ.解析：根据面面垂直的性质定理，A项中l⊂β，l∥β或l⊥β.答案：A3．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.(　　)A．若l⊥β，则α⊥β　　　　　　B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．答案：A4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．17/17解析：∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC则△PAB，△PAC为Rt△由BC⊥AC，且AC∩PA＝A∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥P

5、C因此△ABC，△PBC也是Rt△.答案：45．如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________．解析：如图，O为底面正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为，因此正四棱锥的高PO＝＝1.∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.答案：45°17/17一种关系垂直问题的转化关系．三类证法1．证明线线垂直的方法．(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a

6、⊥α，b∥α⇒a⊥b.2．证明线面垂直的方法．(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：⇒l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.3．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.A级　基础巩固一、选择题17/171．(2016·佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，

7、β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：A中，缺少条件m⊂α，不满足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B，C中，平面α与β可能平行或相交，推不出m⊥β.在D中，n⊥α，n⊥β，则α∥β，根据m⊥α，得m⊥β，D正确．答案：D2．(经典再现)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC