第二章数列章末回顾学案（含答案）

《第二章数列章末回顾学案（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、本章回顾两种数列的基本公式及性质等差数列{an}等比数列{an}定义an＋1－an＝d(d为常数)等价形式an＋1＋an－1＝2an＝q(q≠0)(q为常数)等价形式an＋1·an－1＝a(an≠0)通项公式an＝a1＋(n－1)d变形：an＝am＋(n－m)dan＝a1·qn－1变形：an＝am·qn－m中项a，A，b成等差数列⇔A＝(A称为a，b的等差中项)a，G，b成等比数列⇔G＝±(ab>0)(G称为a，b的等比中项)前n项和公式Sn＝na1＋d＝q＝1时，Sn＝na1q≠1时，Sn＝＝基本性质若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq若m＋

2、n＝p＋q，则am·an＝ap·aq若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap若m＋n＝2p，则am·an＝a{an}是常数列⇔d＝0{an}是常数列⇔q＝1{an}递增⇔d>0{an}递增⇔或{an}递减⇔d<0{an}递减⇔或Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列(q≠－1或m为奇数)若项的下标成等差数列，则相应的项成等差数列若项的下标成等差数列，则相应的项成等比数列若{an}，{bn}成等差数列，则{an＋bn}，{an－bn}成等差数列{an}，{bn}成等比数列，则，，{an·bn}成等比数列一、

3、取倒数法和取对数法求通项6/6例1已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2.求an.解对an＋1＝两边取倒数得：＝，∴＝＋n＋1.令bn＝，则bn＋1＝bn＋n＋1.∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝1－n.∴an＝＝＝.例2在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3.求an.解由已知，an>0，对an＋1＝3a两边取常用对数得：lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan.则bn＋1＝2bn＋lg3.∴bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)．∴{bn＋lg3}是等比数列，首项是b1＋lg3

4、＝lg3＋lg3＝2lg3.∴bn＋lg3＝2n－1·(b1＋lg3)＝2nlg3.∴bn＝(2n－1)lg3＝lg32n－1＝lgan.∴an＝32n－1.二、运用恒等变形求数列前n项和例3已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.(1)解由已知得(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且q＝3.

5、又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)证明bn＝＝－.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1.例4已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x＋2－4的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；6/6(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.(2)∵bn＝a

6、nlog2an＝(n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②②－①得，Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－23－＋(n＋1)·2n＋2＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.三、运用方程(组)的思想解数列问题例5等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}

7、前20项的和S20.解设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200.当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7.∴S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.例6已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－＋.(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一

8、定不是等差数列；(2)当λ＝－时，试判断数列{bn}是否为等比数列．(1)证明当m＝1时，a1＝1，a2＝λ