自动控制典型例题分析3

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1、典型例题分析例3.1已知单位反馈系统的开环传递函数为(a)Ga(s)=K($+1)s(s—l)($+5)11.25(s+0.5)($+l)(s+2)试确定系统的稳定性或求系统稳吋K的取值范围。解(1)系统(a)的K的稳定域解法一(应用赫尔维茨判据)曲I+Ga(s)=O,可得系统(a)的特征方程为F+4$2+(K-5)s+K=0应用赫尔维茨判据则可求得系统稳定的充要条件为K-5>0K>0(“c<4K即］"5D2==3K—20>01/020/31K—□故K的稳定域为K>20/3o解法二(应用劳斯判据)由特征方程可构造劳斯阵列如下：4K3K—20~4KK-5要使系统稳定，其第一列的元素必须全

2、为正。同样也可以求得K的稳定域为K>20/3o(2)系统(b)的稳定性解法一(应用赫尔维茨判据)由1+6“厂=0,可得系统(3的特征方程为"+3.5"+3.5$+12.25=0由于特征方程的系数全为正的，而3.512.250==0〜13.5故可判断该闭环系统是不稳定的。解法二(应用劳斯判据)由特征方程可构造劳斯表如下:s'13.5523.512.25T辅助方程人(巧=3.5疋+12.25=0,(0)5了<—dA(s)/ds=7s5°12.25可见其第一列的元素不变号，故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方程A(s)=3・5s‘+12.25=0(或s?+3.5=0)可解得系统有一对纯虚

3、根pi.2=±870于是应川长除法由系统的特征方程s3+3.5屛+3.55+12.25=(s-p)(s-p2)(s-p^=(52+3.5)(5一门)=0则可求得另一个系统极点为p尸・3.5。因此可判断该系统为临界稳定的。讨论由例题结果可见：(1)系统的开环稳定性和闭环稳定性是两回事，它们之间没有必然的联系。开环稳定的(如系统(b))•其闭环未必稳定；开环不稳定的(如系统(a))其闭环不见得不稳定。所谓系统稳定性，指的是闭环的稳定性。从工程上着眼，为使系统易于控制和调试，通常希望系统的开环应是稳定的。(2)从判断系统的稳定性以及确定稳定裕度和参数的稳定域而言，赫尔维茨判据和劳斯判据是等效

4、的。然而劳斯判据还可用來确定极点在左右两半平面上的分布情况，而且运算较为简便，故在实际中得到了较为广泛的应用。例3.2设单位反馈系统的开环传递函数为K(s+1)G(s)=s(Ts+1)(2$+1)试确定参数K和T稳定域。解由l+G(s)=O可得系统的特征方程为2Tv3+(T+2)52+(1+K)$+K=O于是可构造劳斯如下:2TT+27>2-K(J2)T+2K图3・2系统K和T的稳能域根据劳斯判据，要使系统稳定其劳斯表的第一列元索必须全为正的，即T>0,K>0,T+2-K(T-2)>0故系统稳定时参数K和T的取值范围为T+202T-2相应的K和T的稳定域，如图3.2所示。例3

5、.3控制系统的结构图，如图A3.2所示。若系统以频率w=2rad/s持续振荡，试确定相应的参数K和的值。K(s+)Y(s)?(-)$'+窈2+2.V+17恥)图3.3控制系统结构图解由结构图可得系统的特征方程为2+卅+(2+K)$+l+K=0于是可构造劳斯表如下：2+KT1+K小”1+K2+KT1+K“3根据题意，闭环系统存在一对共辘纯虚根P1.2=±j2o这意味着劳斯表的行全为零元素，即2+K-(1+K)"=O。由辅助方程A(s)二滾2+l+K=0解得一队共轨纯虚根卩,2=±A/(1+K)"=±j2。J2+K-(l+K)/r=O联立求解下列方程组1J(l+K)«=2则可求得系统产生

6、r^2rad/S的持续振荡时，参数K和厂的取值为T=0.75K=2例3.4某液位控制系统的结构图，如图3.4(a)所示。图屮h「为给定液而高度，h为实际液位，q】为进水流量，q?为用水流量。试判断系统的稳定性，并讨论使系统稳定的可能措施。⑷(h)解由结构图可得系统的特耶芳斂控制系统结构图屛(Tms+1)+K二Tms3+$2+K二0式中K二KpKmKiK2为系统的开环增益。分析上式可以看到：特征方程7项，不满足各项系数均大于零的必要条件,故系统不稳定，而且无论如何调整系统参数Tm和K的大小均无法使系统稳定。这种并非参数设置不当而是由于系统结构所造成的不稳定系统，叫做结构性不稳定系统。要使

7、这类系统稳定，必须改变原系统的结构。±3.7节可知，改善系统特性使闭环稳定有两种可行方案：(1)引入比例微分(PD)控制在原系统的受控对象前引入PD控制器G°G)=^+1,其结构图如图3.4(b)所示。由图可得，引入PD控制后系统的特征方程变成为$2(几$+1)+K@+1)二Tms3+2+K盒+K=0它已经不缺项，根据劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为可见只耍适当调整参数使厂>几，便可确保闭环系统为稳定的。(2)引入局部负反馈冋路在受控系统或其