质点力学：圆形轨道运动研究

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1、圆形轨道运动产生条件及其稳定性研究物理102,温一鸣，34号产生圆形轨道运动的条件研究:得:一+//)=——du_cd0,但由初始条件知,说明h2it2rti比耐公式0“、F.也知，如杲初速垂直于位矢11满足F其中也为单位质量上所受的吸引力，则-F可见这时不论半径如何，质点将作恻形轨道运动。形轨道的稳定性研究:1圆形轨道的微扰微分方程1.1取一阶微扰近似地球绕太阳运行的轨道是接近于圆形的椭圆。我们知道，对圆形轨道来讲,r或w(=-)为常数。r由比耐公示曲諾+"=可矢口,m在有心力作用下，对任何质

2、点(或星体)来讲，如投掷(起始)速度的方向垂一直于位矢，且满足宀譽(1)U的关系，则不论其半径为何，都将作圆形轨道的运动，式中p=—为单位质量上所受的吸引力。现在我们要问，这种圆形轨道是稳定的还是不稳定的？这个问题在物理上是很重要的。因为自然界小微小扰动是经常存在的，它将破坏不稳定的圆形轨道，只有稳定的圆形轨道，才有机会继续下去。令u=u（）及h=h°为某一圆形轨道的“和力之值,显然(2)为了研究扰动，我们令式中歹及其微商均认为是很小的微量，把“=£+歹代入比耐公示中，得變+卄de1胪仏。+歹）

3、(3)即引入微扰后轨道偏差歹（〃）的微分方程把式（3）的右边展为g的幕级数，得仇。2(1+自MTPoWo丿Po2/?0.3P/2!(4)又因为二占啤2,即/>=/?2^,则整理后为如>3-3)+——U0)dr/3_"（）"）歹+V-2悅*3、de~~「A）丿2/?（）妬/?广uQh丿孕+取一阶微扰近似决定稳定性的方法，线性部分的特征方程+貼*,0n2-5/1+62iioC2=3—n当3_泌〉0即泌＜3时，解得2为纯虚数，这表明奇点（0,0）为中心。PoPo所以取一阶微扰近似可以得出泌v3时轨道

4、是稳定的oA）1.2取二阶微扰近似现对式（5）取二阶微扰近似，考虑引力与距离〃次方成反比的情况，即i2f则i则式⑶变为(8)2有心力场中圆形轨道的稳定性分析根据方程（8）进行如下两种情况的分析讨论.2.1当C=0时的稳定性分析当G=0时，〃或,2=3.方程（8）退化为一阶微量下的方程.由第①求解可知当〃=2时给岀稳従轨道，当23时给岀不稳疋轨道.若仅考虑在平方反比引力作用下，即n=2,则C?=l时，微扰偏差歹（0）的微分方程变为做出此时的相图，如图1所示.从相图可以看到每条轨线都是封闭的，这表

5、明相应的运动具有周而复始的周期性，即在平方反比引力作用下，圆形轨道具有很强的稳定性.（图1）微扰相图2.2当G工0时的稳定性分析当C冋时,令心+怎心卷，式⑻可化为d2xC；4C；(10)(11)7则有祭=詈=券知。等代入上迅有Q—+C{x2=adx其中q=£L=_s_2).对式(]])积分，得4C,2(—2)(12)2Q_=2.cix-•—C

6、X^+B]其中冋为积分常数.对式（12）分离变量，可得到通积分dx=0+B2(13)原则上通过对式（13）的分析可以得到轨道稳定性条件.考虑引力与距离〃次

7、方成反比的情况，即p=k/=k2un•令/(x)=2ax-2C/+耳=⑺_2)("-3)宀—3忖十耳33如n-2则市广⑴/一2)(_3)宀斗"%n-2得/(X)的驻点为西=上「，兀2=-n-2n-2(16)/ff(x)=(n-2)(n-3)x得厂3)=2(〃-3),r(x2)=-2(n-3).(1)当〃<2时的微扰相图分析当«<2时，/7^)=2(n-3)<0,厂(兀2)=-2(/?-3)>0,根据极值的判定法则知/(x)在旺处取得极人值，在兀2处取得极小值.作岀此时式(12)的相图如图2所示.

8、(图2)n<2的相图图中A点所在的临界封闭轨道满足/(x9)=0,则B严B()=_2("一3)川：；由3(/1-2)"/•(心)=0得A点坐标心=2仏•可以看到，在该轨线内部的轨线是封闭的，对n-2应稳建轨道；而该轨线以外的轨线都是开放的，对应不稳肚轨道.即只有当心vxV左时轨道才可能是稳定的，由此得到上「V歹V-竝.n-2n一2(1)当20,根据极值的判定法则知/(x)在壬处取得极人值，在兀2处取

9、得极小值.作出此时式(12)的相图如图3所示(图3)23时的微扰相图分析当n>3时，/ff(x1)=2(n-3)>0,/x2)=-2(n-3)<0,根据极值的判定法则知.f(