示范教案（任意角的三角函数）

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1、1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三

2、角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.三维目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义

3、,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号

4、;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.思路2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题

5、,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数.推进新课17/17新知探究提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函

6、数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为

7、a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sinα==,cosα==,tanα==.讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sinα==,cosα==,tanα==.提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相

8、似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sinα==b,cos