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1、第二节曲线与方程1.曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x,y)=0叫做____________，曲线C叫做___________________.曲线C的方程方程f(x,y)=0的曲线2.求曲线方程的基本步骤判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.()(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条
2、直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()(4)方程与x=y2表示同一曲线.()【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、
3、y轴时，是x2=y2,否则不正确.(4)错误.因为方程表示的曲线，只是方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×考向1利用直接法求轨迹方程【典例1】已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程.【思路点拨】可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数λ(λ＞0)即可得出方程.【规范解答】设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P={M
4、MN=λMQ}，因为圆
5、C的半径CN=1,所以MN2=MC2-CN2=MC2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).【互动探究】本例中的条件不变，求动点M的轨迹.【解析】由例题解析可知：曲线的方程为(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ>0)，因为λ＞0,所以当λ=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;当λ≠1时，方程化为：它表示圆心为半径为的圆.【拓展提升】1.直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x
6、,y).(2)列出几何等量关系式.(3)用坐标条件变为方程f(x，y)=0.(4)变方程为最简方程.(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.2.直接法适合求解的轨迹类型(1)若待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x,y的等式时，一般用直接法求轨迹方程.(2)题目给出了等量关系，直接代入即可得方程.【变式备选】已知点M，N为两个定点，MN=6,且动点P满足求点P的轨迹方程.【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点，建
7、立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)，则又因为所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.考向2利用定义法求轨迹方程【典例2】已知A(-，0)，B是圆F：(x-)2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程.【思路点拨】根据题设条件，寻找动点P与两点A，F距离的和满足的等量关系PA+PF=2，用定义法求方程.【规范解答】如图，连接PA，依题意可知PA=PB.∴PA+PF=PB+PF=BF=2>1.∴
8、P点轨迹为以A(-，0)，F(，0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为又∵c=,a=1,∴b2=a2-c2=故P点的轨迹方程为【拓展提升】定义法适合所求轨迹的特点及关键(1)特点：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.【
9、变式训练】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.【解析】如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程分别配方得：(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有O1M=R+2.①当动圆与圆O2相内切时，有O2M=10-R.②将①②两式相加，得O1M+O2M=12>O1O2,∴动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O
