高三数学思想方法策略专题（4）——函数与方程思想

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1、高三数学思想、方法、策略专题第四讲函数与方程思想一・知识探究：函数与方程是两个不同的概念，但它们Z间冇着密切的联系，方程fM=0的解就是函数y=/(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=Ax)也可以看作二元方程/(x)—y=0通过方程进行硏究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解冇关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究屮，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的冇关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多冇关方程的问题可以用函数的方法解决，反乙许多函数问题也可以用方程的方法来解决

2、。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运川函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。两数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动屮求静，研究运动屮的等量关系；3.

3、函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x),当y=0时，就转化为方程f(x)=O,也可以把函数式y=f(x淆做二元方程y—f(x)=O。函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题來求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x),当y>0时，就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不筹式：(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的两数，用两数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)=(^+

4、/7)，J(nEN*)与二项式立理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析儿何屮的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需耍通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的冇关理论；(6)立体儿何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二.命题趋势纵观近儿年的高考试题，两数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容在高考试卷上，与函数相关的试题所占•比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，乂有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是

5、最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较人，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高屮新课标数学屮，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。在近几年的高考小，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与恻、恻锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解。预测高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系；特别注意客观形题日，大题一般难度略大。三.例题点评题型函数思想在方程中应用—c例：L.(1)已知=1(a、b、cER),则冇()5a(A)

6、b2>4ac(B)b2>4ac(C)b2<4ac(D)b2<4ac解析：法一：依题设有a・5—b・a/5+c=0,・・・V5是实系数一元二次方程处$+以+c=0的一个实根；/.A=/?2-4ac>0・b2>4ac故选(B)；法二：去分母，移项，两边平方得：5b2=25a2+lOac+c2&10ac+2•5a•c=20ac,b2>4ac故选(B)(2)设方程/+ax+b2_2=0(q,bw/?)在(—oo,-2)u[2,+oo)上有实根，求a2+b2的取值范围。分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求岀a,b满足的条件，视a2+h2为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过

7、程繁琐。考虑到变量a,b是主变量，反客为主，视方程=0为aob处标平面上的一条直线/：xa+h+x2-2=0,P(a,b)为直线上的点，则a2+/r

8、P0

9、2,设d为点0到直线/的距离，由儿何条件知:因为xg(-oo,-2)u

10、2,+oo),令r=/+l,贝Urw[5,+8)。9且易知函数t+-在[5,+00）上为增函数。Io994所以IPOFnX+]）+6=r+--6>5+--6=-ox2+lt