数学分析典型题杂题

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1、6个等价定理i°确界定理2°单调有界定性3°闭区间套定理4°列紧性定理（Weierstrass聚点原理）5°完备性定理（Cauchy收敛原理）6°紧性定理（Borel有限覆盖定理）在一般的教科书上论证它们的线路是：1°（作为公理及3°-6°.实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个.这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重耍的.下面就作其中一些训练，其余留给大家口己作.1.5°-6°・即用完备性直接证明紧性.2.6°->1°・即用紧性直接证明确界定理.3.6°->2°・即用紧性直接证明单调有界定理.4.6°->3°・即用紧性肓接证

2、明闭区间套定理.5.6°->4°・即用紧性直接证明列紧性.6.6°->5°・即用紧性直接证明完备性.7.3°->1°・即用闭区间套定理肯接证明确界定理.8.3°->2°・即用闭区间套定理直接证明单调有界定理.9.3°->5°・即用闭区间套定理直接证明完备性.10.1°->3°・即用确界定理肓接证明闭区间套定理.11.1°->4°・即用确界定理直接证明列紧性.12.1°->5°・即用确界定理直接证明完备性.13.・即用确界定理肓接证明紧性.14.4°->1°.即用列紧性直接证明确界定理.15.4°->2°.即用列紧性肓•接证明单调有界定理.16.4°-3°.即用列紧性直接证明

3、闭区间套定理.17.4°->6°.18.5—19.5°->2°.20・5°->3°.21・5°-*4°.22.2°-*1°.23・2°->4°.24・2°—5°.25.2°-*6°.即用列紧性直接证明紧性定理.即用完备性直接证明确界定理.即用完备性直接证明单调有界定理.即用完备性直接证明闭区间套定理.即用完备性直接证明列紧性左理.即用单调冇界定理直接证明确界定理.即用单调有界定理宜接证明列紧性定理.即用单调冇界定理直接证明完备性定理.即用单调有界泄理直接证明紧性圧理.1）数列极限存在、不存在的“s-N”定义.2）两边夹定理、单调有界性、Stolz定理等以及各种技巧.3)函数

4、极限的1.用定义证明:“g—5”定义、性质等.若limX”存在，贝ijlim——=limxn.〃一>cor?-»co2.用定义证明:n若几则恤州儿+3心+…+1=必川一>83-设limx”=a〉0,R£>0(n>1),则limns4.5.6.7.n-i-i-iX]+X2+•••+£-1设lim£=aHxn>0(n>1),贝Ulim心]x?…兀=a.HT00甲_>00X若lim%】川Tood且£>0(/?>1),则lim=a.Yn->oonlk+2*+•••+//求lim去及lim二"为自然数)・“TOO目nI"TOO证切：limsinn不存在(limcos乃不存在)./?—

5、>con—»ocR+i8.则Umxn存在，(若lxn+18若｛£｝满足1兀山一兀」5厂丨£一£_1I（广为常数RO0,X]—(7?n2),求liman.4“TOO"=b>a£=片2S>2),求lim£•〃T8Xo=1,Xn+i=f(xn)(n>0),求证limxn=^2.;r-»co—(n>0)，证明lim£=W—11+£s13.设x=1,xn+[=J2+x(n>1).求limxn.NT814.设x0=1,xn+x=14-—(n>0),求limxn.Y”一>815.设=1+丄

6、+…+丄一Inn{n>1),证2n12.女Xq=1,x.n+l明lim心存在，且计算〃T8r,111、心8h+1m+2In16.]A设A>0,x{>0,xn+1=—(xn+一)(n>1),求limxn.2£281人-般地，设A〉0,X]〉()，mg，兀+]=—[(加一1)£+—](n>1),求limx/r.mx：17.设4>0,0<^<—,xn+}=xn(2-Axlt),求limxn.n+lA”Toc18.设0<乞<1,(1一％)%+],求limqn.4n->oo19.设xY=afxn+l=+(l-2b)xn+b若lim—=q,则riq-oon24

7、.求limnsin(2^n!).25.设[x]为兀的整数部分，而{x}=x-[x]为兀的小数部分，求lim{(l+^r}."T8(n=1,2,---),则当b-oo20.已知如皿,数列｛兀｝满足0()222.设数列{兀“}满足条件：/m,ne,有xm+fl