巧用V—T图研究复杂运1

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1、用v—t图研究复杂运动v—t图形象、直观、简捷，有很多优点，它不仅直接能表示出速度的变化情况，也能利用速度图线的斜率明显地表示出加速度的变化情况，而且还能利用速度图线与坐标轴围成的面积表示位移的大小。对于那些复朵运动如多体运动、非匀变速运动，往复性周期运动等，如用常规方法求解，计算会非常烦琐,甚至会陷入“山穷水尽”的困境。如果用v—t图来研究，无论定性分析还是定量计算，都能简化解题过程、优化思维程序，出现“柳暗花明”，达到事半功倍的效果。一、定性分析［例1］若空气阻力与物体运动速度大小成正比，把一物体竖直上抛，并落冋原处，

2、则关于物体上升时加速度大小肛、所用时间t］与下降时加速度大小近、所用时间t2的说法正确的是（）A、a］=a2>g,=t2B、a］>a2>g,t］g>a2,tig>a2,t］>t2［解析］本题属于非匀变速运动,可用高等数学微积分或用初等数学微元法求解，但要求较高且较麻烦，可用v—t图求解。由于空气阻力与物体运动速度大小成正比，所以物体上升时加速度大于g且逐渐减小，到最高点时速度为0,加速度为g，下降吋加速度小于g且逐渐减小。即v-t图中图线的斜率逐渐减小，曲线向上凹。由能量守恒知，落回原处的速

3、度大小V小于上升的初速Vo。根据这些可定性作出V-t图线如图1所示，因上升和下降的高度相等即曲线与时间k图i、弋卿轴上下所围的影阴面积要相等，则t2必大于h,故答案C正确。［例2］如图2所示，将质量为2m的长木板静止放在光滑的水平面上，一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平初速Vo由木板左端恰滑至木板的右端与木板相对静止。铅块运动中所受摩擦力始终不变。现将木板分成长度和质量均相等的两段后紧挨着仍放在水平面上，让小铅块仍以相同的初速度由左端开始滑动，则小铅块将（）A、滑到右端与木板保持相对静止。V。►B、在滑到右端前就与木

4、板保持相对静止。「C、滑过右端后飞离木板。图2D、以上答案均有可能。［解析］此题属多体匀变速运动。若按常规方法思考，运算较繁杂，可用V—t图求解，原来铅块作匀减速运动，木板作匀加速运动，其v—t图如图3所示：V0A表示铅块的速度图像，OA表示木板的速度图像，△V（）OA的面积为铅块相对木板的位移即为木板长。现在当铅块滑到木板的后一半时，木板的前一半作匀速运动，木板的后一半作加速度是原来两倍的匀加速运动。图中CB表示铅块在后一半木板上运动时，后一半木板的速度图像。图像包围的面积即V（）BCO的面积为铅块相对后一半木板的位移，

5、由图知该位移小于木板长L,故铅块未滑到右端就相对后一半木板静止了，故答案B正确。［例3］如图4所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧连接且静止于光滑水平面上，开始弹簧处于原长位置，现用水平恒力F推木块A,则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（）A・当A、B速度和冋H、J,加速度3a=3bB・当A、B速度相同时，加速度aA>aBC・当A、B加速度相同时，速度vAvB［解析］此题属非匀变速的多体运动。设弹簧的压缩量为X,由受力分析可知FA=F-kx,FB=kx即aA=(F

6、-kx)/m,aB=kx/m弹簧第一次被压缩到最短的过程中，x随时间的增大而增大JI：始时物体的加速度aA>aB=O,以后aa变小，aB变大•两物体的速度都从零开始加速，A作加速度越来越小的加速运动，B作加速度越来越大的加速运动，当弹簧压缩到最短时两物体的速度相等，但根据上述分析还无法确定正确答案，好象走到“山穷水尽”。若根据加速度的变化定性作出V—t图如图5所示，可直观地得到，两物体的速度相同时，如图4中t2时刻A图线切线的斜率比B图线切线的斜率小,即aA

7、A过S的竖直线与A,B速度图线的交点的切线斜率相等，即加速度相同，这时Va>Vb，故答案D正确。二、定量计［例4］在光滑水平轨道上，有两个半径都是的r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于L(L比2r大得多)时，两球间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于L时，两球间存在着恒定的相互作用斥力F,设A球从远离B球处以速度V。沿两球连心线向静止的B球运动，如图6(a)所示，欲使两球不发生接触，V。必须满足什么条件？图6(a)［解析］此题属匀变速多体运动，用V—t图计算，具休清晰，简单明了。如图6(b)所示，在

8、v-t图中两直线分别为A、B两球的速度图象，当两球速度相同时，A、B相距最近，A相对于B运动的距离为AOPv。的面积。因为Va二Vo-Ft/m,vB=Ft/2m,则当vA=vB时,t=2mv()/3F所以ZXOPvo的血积S=v0t/2=mv2()/3F,乂因A、B不接触的条件为S