方差分析理论

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1、第五章方差分析在上一章的假设检验中，我们研究了一-个样本的平均数或比例与假设的总体均值或比例的差杲是否显苦的问题。我们也研究了两个样本的平均值和比例差异是否显著的问题。但是如果需要检验两个以上总休的均值是否相等，上一章所介绍的方法就不再适用To这需要用方差分析的方法來解决。方差分析主要用来检验两个以上样本的平均值差异的显著程度，市此判断样本究竟是否抽口具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量的差异，分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异是否显著时，是非常有用的。第一节单因素方差分析-、问题的提出例5-1。为了比较三种不同材料对产品

2、寿命的影响，试验人员分別对三种不同材料所制造的一组产品的寿命进行了测试，所得结果如表5・1所示（为简化计算，以各収4个样本为例）。表5・1:某种材料使用寿命的抽样统计衣材料种类实验1实验2实验3实验4A1151169883B103107118116C73898597现要求根据上述试验结果，显著性水平为Q的条件下，检验所选用的材料対最终产品的使用寿命的影响是否显箸。从统计的角度看，就是要检验三种不同的材料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。通常，在方差分析屮，我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因索。如果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用，就称为单因素方差分析。在

3、木例屮，因索就是可能影响产品使用寿命的材料。因索的不同选择方案称Z为因素的水平。上例小材料冇三种不同的选择就说因素冇三个水平。因素的水平实际上就是因素的取值或者是因素的分组，例如，可以在包装、质量、价格和销售区域等方曲取不同的值或分为不同的组，就表示因素选了不同的水平。方差分析耍检验的问题就是当因素选不同的水平时，对结呆有无显著的影响。若无显箸影响，则随便选择哪一种材料都无所谓。否则就要选择最终产品寿命最长的一种材料。一般地，我们假定所检验的结果受某一因素A的影响，它可以取K个不同的水平：1,2,3,-Ko对于因素的每一个水平i都进行n次试验，结果分别为X门，/力…X”，我们把这一组样本记

4、作X,，假定Xj〜即对于因素的每一个水平，所得到的结果都服从止态分布，且方差相等。用统计的语言来表达，要检验的假设就是：%:“I二“2二…二儿，H、：不是所有的丛都相等（i=1,2,由此可见，方差分析是研究一个或多个可分纟R的变量（称为自变量）与一个连续变量（因变量）Z间的统计关系，并测定自变量在取各种不同水平时对因变量的影响和作用的一种统计分析方法。方差分析通过比较和检验在因素的不同水平下均值Z间是否存在显著的统计差杲的方法來测定因素的不同水平对因变量的影响和作用的差杲。二、方差分析的基木原理和步骤方差分析的基本思路是一方面确定因素的不同水平下均值Z间的方差，把它作为对由所有试验数据所组

5、成的全部总体的方差的一个估计值。另一方面，再考虑在同一水平下不同试验数据对于这一水平的均值的方差。由此，计算出对rh所有试验数据所组成的全部数据的总体方差的第二个估计值；最后，比较上述两个估计值。如果这两个方差的估计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大，就接受零假设。否则,就说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大，就接受备择假设。根据上述思路我们可以得到方差分析的方法和步骤。I、提出假设//（）：：“］=“2=•••="«•，即因索的不同水平对试验结果无显著影响，H｝：不是所冇的“•都相等（i=1,2,即因素的不同水平对试验结果冇显著影响。2、方差分解我们先定义总离差平方

6、和为各样本观察值与总均值的离差平方和。记作其中：乂是样本总均值，即N=nk为样木观察值总数。将总离差平方和分解为两部分:SST=ZZ（X/；-X）2工£［化厂爼）+国-司］21=1J=lL」止£亿一对+£“•仇一可/=!y=li=i其屮：X•是第I个样本的平均值，即表示同一样本组内，山于随机因素影响所产生的离差平方和，简称为组内平方和。记/7SSR=X«V，--X)~/=1表示不同的样本组Z间，山于变界因素的不同水平影响所产牛的离差平方和，简称为组间平方和。rh此可以得到SST二SSR+SSE.对应于SST,SSR和SSE的自由度分别为：N-l,K-l,N-K.相应的口山度Z间的关系也有

7、：N-1=(K-1)+(N-K).3、F检验将SSR和SSE分别除以其自由度，即得各自的均方差:组间均方差MSR=SSR/(K-1)组内的均方差MSE=SSE/(N-K)统计上可以证明E(MSE)=cr2E(MSR)=工“•(/<■-A)"k_'i=i由此可见，如果原假设H()：=“2成立，则E(MSE)=E(MSR)=cr2；否则E(MSR)><72o根据F分布，如果原假设乩)：：“]=“2=••=“《，成立，那么MS