电磁场数学基础

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1、第一章电磁场数学基础1.1矢量的基本概念1丄1标量与矢量只有大小的物理量称为标量，如温度、压力、密度、质量、时间和电阻等。既有大小乂有方向的物理量称为矢量，例如力、速度、电场强度和磁场强度等。为了便于区别矢量和标量，本书小用白斜体字母表示标量，而用白斜体字母上加单向箭头表示欠量。例如力表示一个欠虽，它的大小称为该矢量的模。模是一个标量，表示为力或力。1.1.2单位矢量矢量模等于1的矢量叫做单位矢量，在本书屮表示为6。与力矢量同方向的单位矢量表示为乙。显然有，.Ae.4=~d.1.1)这样，我们也可以将欠量力表示为1.1.3矢量的表示在三维空间里，矢量力可以表示为一根有方向的线段。线段的长度

2、表示力的模，线段的方向代表力的方向。在三维直角坐标系中，刁可表示为一根由坐标原点出发的有向线段，如图1.1.1所示。沿着三个坐标轴正方向上的单位矢量分别为g,久,7在三个单位矢罐方向上的投影分別为4，4，欠量力可表示为A=exAy^eyAy^e2Az矢量力的模为A=A=JA；++4；矢量A^jx轴、y轴、z轴的夹角分别为a、0、y,单位矢量耳为—AAA=g.COSQ+g.COS0+geos7其中cosa=i9cos0—~]9cosy由于cosa、cos"、cosy,是单位矢量乙在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量力的方向,所以它们被称为矢量力的方向余弦。单位矢量為的模等于1,可以由下血的式

3、子证明。eA=Jcos?a+cos2/3+cos2/++=11.1.4位置矢量与距离矢量在三维直角坐标系中，由坐标原点出发向空间任一点P(x』,z)引出的有向线段称为点P的位置矢量或矢径，表示为戸，如图1.1.2所示。矢径戸的三个坐标分量分别为X,尹，Z,可表示为r-exx+evy+ezz(1.1.7)矢径戸的模等于线段。卩的长度，即r=r=J兀2+尹2+^2(1.1.8)矢径戸的单位矢量卸为入Y入XAA.Z/Ac入z--er=—=ex—+ey—+e^—=excosa+evcos0+匕cosy(1.1.9)rrrr本书用戸表示电磁场中场点p(x』,z)的位置欠量，用戶表示电磁场中源点

4、的位置矢量，矢径斤则表示由点p引向点p的距离欠量，表示为R=r-rf=(x-xz)+ev(y-y}+e.(z-z)(1.1.10)距离矢量7?的模7?表示点P和点P之间的距离，BPR=R=r-rf=J（兀_兀‘尸+（y_”尸+（z_z'），距离矢最的单位矢最为1.2矢量的代数运算1.2.1矢量相等若矢量力与矢量P的大小相等且方向相同，或者说它们有相等的坐标分量，则称矢量力与矢量P相等，记为(121)由矢量相等的定义可知，一个矢量力经平移后所得到的新矢量刁与原矢量相等，如图1.2.1所示，即A=A1.2.2矢量加法设矢量B=exBx+eyBv+乞若将矢量B平移使它的始点与矢量刁的终点重合，

5、则从矢量力的始点出发引向矢量P的终点的矢量C称为图1.2.2矢量加法矢量力与矢量鸟相加得出的和矢量，如图122所示，记为C=A+B=ex（Ax+Bj+ey（Av+巧,）+ez（Az+乞）=3XCX+g+工矢量加法满足交换律和结合律，即(122)交换律A+B=B+A结合律（^+5）+C=^+（5+C）1.2.3矢量减法与矢量P大小相等方向相反的矢量称为矢量P的负矢量，记为(123)-B.矢量力与矢量-鸟相加得出的矢量C称为矢量力减去矢量P的差矢量，如图123所示，记为0=力一鸟=力+（—2）弋（4-乞）+务仏-坊,）+欽&-色）=&C+JCy+ezc2图122矢鼠加法(1.2.5)1.2.4

6、矢量的数乘若矢量C的诸分量分别等于矢量A的各分量与任意常数a的乘积，即(1.2.6)则矢量C称为矢量力与常数a的数乘，记为(127)C-Aa显然，若。为大于零的实数，则応相当于将原矢量力伸长a>l）或缩短（Xi）a倍,而方向保持不变；反Z,若°为小于零的实数，则応相当于将原矢量力仲长（问>1）或缩短（

7、a

8、

9、矢量方向上的投彩。由标量积的定义，不难证明标量积满足交换律和分配律，即交换律A-B=B^A(129)分配律ab+c)=ab+a-c(1210)可以看出，若矢量力与矢量鸟垂直，即它们之间的夹角&=90°,则这两个矢量的点积等于零;若矢量力与矢量P平行，即它们之间的夹角^=0°,则这两个矢量的点积等于这两个矢量的模的乘积,即有(1211)(1212)A^B=AB,0=0°直角坐标系屮的三个坐标单位矢>eY,岂互相垂宜，满足