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1、卫星椭圆轨道问题探析顾家国江苏省大港中学江苏镇江212028通过对万有引力知识的学习,我们知道,发射卫星的最小速度是丽(又称第一宇宙速度),此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动;当发射速度达J诉时(又称第二宇宙速度),卫星以地球球心为焦点作抛物线运动,当然再也不可能返回地球,因为抛物线为非闭合曲线;当发射速度介于斤和血斤之间时,卫星作椭恻运动,并随发射速度的增人椭恻越扁,地球为椭恻的一个焦点,发射点为近地点;当卫星速度人于J丽而小于第三宇宙速度时,它将衣地球引力范围内作双曲线运动,当卫星脱离地球引力后
2、,将绕太阳运动成为太阳的一个行星,如果控制发射速度和轨道,它也可成为其它行星的卫星;当发射速度人于第三宇宙速度时,卫星将脱离太阳系的束缚,向其他星系运动。对于恻轨道,由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力,因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道,相对来说求解某些问题有一定的困难,下而就卫星椭圆轨道的儿个问题逐一分析说明。一、椭圆上任一点的曲率半径。(严+沖%根据数学知识,曲率半径由公式厂=…)丄给岀,为了便于求导,借助椭圆的参yx-xy数方程x=ac
3、os(/),y=bsin0(a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴),把x、y的一、二阶导数代入厂表达式,有r=(/smp+Zrcosp)%•在远地点和近地点,参数。分别取。、兀abb2代入,得到在椭圆上(±。,0)这两个点所在处的曲率半径相同,等于一,不等于d+c或aa-c,式中c为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求己超出髙中要求,但是其结论有必要作适当的介绍。例题1:某卫星沿椭圆轨道绕地球运行,近地点离地球中心的距离是c,远地点离地球中心的距离为d,若一卫星在近地点的速率为以,则卫星在远地点时的速率耳是多
4、少?解析:做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同,设都等于厂。所以,Mmu?Mmvz/在近地点时有宀在远地点时有G—=m旦,上述两式相比得±=Z故crd~厂vdcve/=-v.o学生易错的解是:卫星运行所受的万有引力提供向心力,在近地点时,有(1G蝉=加吃,在远地点时有G贺=机血,上述两式相比得比=上,得V7=Ev.,c2cd2dV(lVcdc以上错误在于认为做椭圆运动的卫星,在近地点和远地点的轨道曲率半径不同,且分別为c和〃,这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。二、卫星在椭圆
5、轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。根据牛顿第二定律,卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式GMmma求解,式中R为地球球心到卫星的距离,即椭圆的-个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时,力有引力全部用来提供向心力,这时卫星的加速度就是向心加速度,而在椭圜轨道上运动的卫星,万有引力没有全部川来提供向心力,向心加速度将不再等丁•卫星在轨道上运动的加速度。V卫星在轨道上某点运动的向心力为Fn=m—,式中厂是该点所在椭圆轨道的曲率半径,向心加速度an=m衣远地点,卫星受到地球的万冇引力
6、Fg=GMm下,式中斤是卫星和地9球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力Fn=m—,心R,且FG=Fn.卫星此吋的加速度等于向心加速度,即a=j,卫星Z后在刀有引力作用下向地球靠近做向心运动,万有引力产生两个作用效果,一方而提供沿轨道切向的切向力,对卫星做正功,使卫星速率越来越大,另一方面提供向心力,不断改变卫星的运动方向,万有引力产牛的切向加速度①和法向加速度即向心加速度间的关系,如图1所示。到达近地点时,Fg=F『a=an,卫星Z后远离地球做离心运动,万有引力同样产牛两个作用效果,一方面提供沿
7、轨道切向的切向力,对卫星做负功,使卫星速率越来越小,另一方面提供向心力,不断改变卫星的运动方向,直到远地点,周而复始。在整个运动过程中,只有近地点和远地点两个位置,FG=Fn,a=alt,其他位置aHano例题2:发射地球同步卫星时,先将一卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步恻轨道3,轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是:A、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过
8、Q点时的加速度B、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度C、卫星在轨道3上的速率人于在轨道1上的速率D、卫星在轨道3上的也速度小于在轨道1上的和速度有关,所以A选项错误,B选项正确。因为轨道1和轨道3是圆轨道,所以GM,即D选项正确,C选项错谋。周期为「,由开普勒第三定律得:R3.飞船从A到B的吋间『斗由以上三式求解Mm?v2,G一=mrco=m——,所以V二厂r三、卫星在椭圆轨道上运动的周期。根据开普勒第三定律