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1、卫星椭圆轨道问题探析顾家国江苏省大港中学江苏镇江212028通过对万有引力知识的学习，我们知道，发射卫星的最小速度是丽（又称第一宇宙速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达J诉时（又称第二宇宙速度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线；当发射速度介于斤和血斤之间时，卫星作椭恻运动，并随发射速度的增人椭恻越扁，地球为椭恻的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度人于J丽而小于第三宇宙速度时，它将衣地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后
2、，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度人于第三宇宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。对于恻轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下而就卫星椭圆轨道的儿个问题逐一分析说明。一、椭圆上任一点的曲率半径。（严+沖％根据数学知识，曲率半径由公式厂=…）丄给岀，为了便于求导，借助椭圆的参yx-xy数方程x=ac
3、os（/）,y=bsin0（a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x、y的一、二阶导数代入厂表达式，有r=（/smp+Zrcosp）%•在远地点和近地点，参数。分别取。、兀abb2代入，得到在椭圆上（±。，0）这两个点所在处的曲率半径相同，等于一，不等于d+c或aa-c,式中c为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求己超出髙中要求，但是其结论有必要作适当的介绍。例题1：某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c,远地点离地球中心的距离为d,若一卫星在近地点的速率为以，则卫星在远地点时的速率耳是多
4、少？解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于厂。所以，Mmu?Mmvz/在近地点时有宀在远地点时有G—=m旦，上述两式相比得±=Z故crd~厂vdcve/=-v.o学生易错的解是：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有(1G蝉=加吃，在远地点时有G贺=机血,上述两式相比得比=上,得V7=Ev.,c2cd2dV(lVcdc以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分別为c和〃，这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。二、卫星在椭圆
5、轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式GMmma求解，式中R为地球球心到卫星的距离，即椭圆的-个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，力有引力全部用来提供向心力，这时卫星的加速度就是向心加速度，而在椭圜轨道上运动的卫星，万有引力没有全部川来提供向心力，向心加速度将不再等丁•卫星在轨道上运动的加速度。V卫星在轨道上某点运动的向心力为Fn=m—,式中厂是该点所在椭圆轨道的曲率半径,向心加速度an=m衣远地点，卫星受到地球的万冇引力
6、Fg=GMm下,式中斤是卫星和地9球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力Fn=m—,心R,且FG=Fn.卫星此吋的加速度等于向心加速度，即a=j,卫星Z后在刀有引力作用下向地球靠近做向心运动,万有引力产生两个作用效果，一方而提供沿轨道切向的切向力，对卫星做正功，使卫星速率越来越大，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产牛的切向加速度①和法向加速度即向心加速度间的关系，如图1所示。到达近地点时，Fg=F『a=an,卫星Z后远离地球做离心运动，万有引力同样产牛两个作用效果，一方面提供沿
7、轨道切向的切向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向,直到远地点，周而复始。在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置，FG=Fn,a=alt,其他位置aHano例题2：发射地球同步卫星时，先将一卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步恻轨道3,轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过
8、Q点时的加速度B、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度C、卫星在轨道3上的速率人于在轨道1上的速率D、卫星在轨道3上的也速度小于在轨道1上的和速度有关，所以A选项错误，B选项正确。因为轨道1和轨道3是圆轨道，所以GM,即D选项正确，C选项错谋。周期为「，由开普勒第三定律得:R3.飞船从A到B的吋间『斗由以上三式求解Mm?v2,G一=mrco=m——，所以V二厂r三、卫星在椭圆轨道上运动的周期。根据开普勒第三定律
