卫星在椭圆轨道上的速度和能量的一个推论

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1、卫星在椭圆轨道上的速度和能量的一个推论几天前，收到了一位网友的信息，提到了下面的推论。PQ图1图1给出了一个圆轨道和一个椭圆轨道，其中圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等。P、Q两点为两轨道的交点。我们要说的推论是：在椭圆轨道上的卫星运动到P或Q时，其速率等于在圆轨道上运动的卫星的速率。这个命题的证明是简单的。我可以设在两个轨道上运动的卫星的质量相等而不影响研究它们的速度关系。这样一来，由于圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等，由“椭圆轨道上的卫星的速度和能量”（可以从百度文库中找到）一文得到的结论可知，两物体在各自的轨道上运动过程中机械能守恒且二者的

2、机械能相等。当椭圆轨道上的卫星运动到P点或Q点时，二者具有相同的重力势能，因而具有相同的动能，从而得到具有相同的速率。这个结论还可以从另外一个角度来证明。由“椭圆轨道上的卫星的速度和能量”中可知，椭圆轨道上的卫星的速度公式是：（1）（1）式中的表示单位时间内矢径扫过的面积的2倍，因此有（2）其中a表示椭圆的半长轴，b表示椭圆轨道的半短轴，T表示卫星运动的周期。由“椭圆轨道上的卫星的速度和能量”中可知（3）（4）由椭圆方程可得（5）由开普勒第三定律可知(6)(2)至（6）式分别代入（1）式，有下面的计算过程3令，其中，M表示中心天体地球的质量，G表示

3、引力常量，继续运算即（7）当椭圆轨道上的卫星运动到P或Q时，有。由上面的结果可以知道，此时，这正是半径为a的圆轨道上的卫星的运行速率。至此，我们证明了前面提到的推论。我们可以把（7）式的结论用文字表述为（如图1所示）<1>当卫星在P、Q左边半个椭圆轨道上运动时，由于，所以有，即大于在圆轨道上运动的卫星的速度。<2>当卫星经过P、Q点时，由于有由于，所以有，即等于在圆轨道上运动的卫星的速度。3<3>当卫星在P、Q右边半个椭圆轨道上运动时，由于，所以有，即小于在圆轨道上运动的卫星的速度。我们还可以将（7）式继续变形为（8）上式中出现的是卫星到椭圆另一焦

4、点的距离，如图2所示，我们用r’来表示，有rr'图2（9）一方面，用（9）式分析上面得到的三个结论将更加容易，另一方面，这个公式还表现出了漂亮的对称性。如图2所示，过长轴和短轴的直线是椭圆的两条对称轴，有<4>在关于长轴对称的两个点上，必有，速率相等；<5>在关于短轴对称的两个点上，必有。3