京城教育网高三数学学法指导--合理构造速解三角题

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1、合理构造速解三角题对于某些三介函数问题，若能从构造角度去思考，往往能收到意想不到的效果，常用的构造方法主要有以下儿种。1.构造对偶式例1.求cos?10+cos250一sin40°•sin80°的值。解：设M=cos210°+cos250°—sin40°sin80°,N=sin210°+sin250°一cos40°cos80°,则M+N=2-cos40°,M_N=cos40°--2两式相加可得M=2，故43cos210+cos250°一sin40sin80=—.4例2.函数y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2,最小值-1

2、,则实数a=b=o解：由于y=（acosx+bsin兀）cos兀=qcos?x+bsin兀cosx,构造对偶式Z=asin2x+bsinxcosx,贝lly+z=a+2/?sinxcosx,y-z=gcos2兀两式相加，得y=—a+丄dcos2x+丄方sin2x222=—a+—yla2+h2sin（2x4-（/））（其中（an（p-—}22b所以—a+—y/a2+Z?2=2,—a—-y/a2b2=—1.2222解之得d=1,b=±2>/2.2.构造三角形例3.求tan20+4sin20的值。解：由式了中角的特点，可以构造如下图所示的

3、RtABC,使AB=2,BC=1,则CA=VI,ZA=30°,ZABC=60°。作ZCZ?Z）=20°,则BD=sec205=tan20^>°'BCD2V32DC乂凶为S'BCD+^ABD=SMBC~2所以冷+2sin20。即tan20°+4sin20°=73.例4.求cos36"的值。解：如下图所示，作AABC,使BA=BC=1,ZA=ZC=36°,又作ZABD=36°,BD交AC于D点，则ZCBD=72°,ZCDB=72°,BC=1,1)AC=2・AB•cos36"=2cos36ABAD=—2—=——?——cos36°2co

4、s36因为A£>+DC=AC,所以——!——+1=2cos36Q，2cos36即4cos236°-2cos36°-1=0因此cos36°是二次方程4/_2兀-1=0的正根,即cos36°=、'门41.构造函数例5.若x>Vszg——,cieR日.满足+sin兀—2ci=0和44_4)卩+sinycosy+a=0,贝Ucos(x+2y)=。解：构造函数f(x)=x34-sinx,则f(2y)=(2y)3+sin2y=2(4y3+sinycosy)=-2a,所以/(2j)=-/(X)=/(-X),当X、yG-各,y时,44f(x)是单调

5、递增的，所以2y=-x,即x+2y=0,故cos(x+2y)=1。2.构造特例例6.在AABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c,若c-a等于AC边上的高h,贝＞Jsin£^A+cos£±A的值是（）22A.1B•丄C•丄D.23-1解：将已知条件特殊化，如下图所示，在RtAACB中，此时ZA=30°,ZC=90J,sin2+cos=sin30+cos60J=1,故应选A。5•构造曲线方程例7.已知y=sin?x+2sinxcosx+3cos2X，求证：2-V2

6、°s2Y)22=cos2x+sin2x+2,令上=cos2x,v=sin2x,贝Ijy=u+v+2,即“+y+(2-y)=0,Xm2+v2=1.(1)(2)其屮（1）为一条直线，（2）为单位圆，点（心V）同时满足两方程，即圆心（0,0）到直线的距离不超过圆的半径，如下图所示，即2_y“。所以2-V2<）■*<2+V2oV1+16.构造单位圆例&若sina>tana>cota-—

7、MP

8、

9、sina<

10、tana<

11、cota。又Esin(7<0.tan<2<0,cota<0,所以sina>tana>cota,故应选B。7.构造平面向量例9.函数/'（X）=3sinxcos兀-4cos2兀的最人值为解：由丁•f(X)=3sinxcosx-4cos2x=ysin2x-2cos2x于是设a=(-2,弓，Z?=(cos2x,sin2x)»则a•b=—sin2x-2cos2x<

12、6/

13、-

14、/?

15、^/(x)=rin2x-2cos2x-2