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1、二维图形变换的研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享1、摘要本文对二维平面图形的几何变换和一些特殊变换进行了研究，主要介绍了二维图形变换的函数表示以及矩阵表示，包括公式和图形，并用实例给出了几种几何变换过程。计算机图形学中常见的基本二维图形几何变换用于图形畸变的纠正，并介绍了线性插值的方法。关键词：几何变换，图形方位，图形位置，图形大小2、引言坐标系不动，图形改变，即变换前后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为图形模式变换，也称儿何变换。(将一个儿何图形的点都变为另一个儿何图形的确定的点，称此变换过程为几何变换)我们知道，在计算机图形中，一个无论多么复杂的平
2、面图形最终都可看成为由一系列直线段组成，而每一条直线段均由两点所决定，那么，对平面进行几何变换，实质上是对点做几何变换。例如设(x,y)是二维图形上的任意一点，欲将图形在坐标平面内沿x坐标轴平移一段距离a,那么图形屮的任意一点都跟着平移，则其新坐标为：x0+a;y』y,图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一个组成部分。[5]3、基本理论常见的基本二维图形儿何变换有平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换和错切变换。我们都知道点是构成图形的基木几何兀素之-。㈠下面先来讨论点的几何变换的函数表示。1.平移变换Tx咒而上一点(x,y),如呆在炉腿魂网助平移增量为,在
3、y轴方向平移增量时，岁平督冒单尊点y,=达式为:(1)平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，如卜•图所示：f图3一3平移亜换2.比例变换»一个图形屮的坐标点Sv(x,y),若在x轴方向冇一个比例系数,在y轴方向有一个比例系数•，则该图形的新坐标点(x；yj的表达式为：比例变换不仅改变图形的位置，而月•改变图形的大小，如下图所示:图3.4-变换后工比例变换3•旋转变换0若图形中的坐标点(x,y)绕坐标原点逆时针旋转一个角度，则该点变换后的新坐标(x$)与交年顽的坐饬如何初勺关系为：Iy=/?sin6/(3)如下图所示:4.对称变换(1)关于X轴的对称
4、变换如果经过变换后所得到的图形与变换询的图形关于X轴是对称的，则称此变换为关于X轴的对称变换。点P(X,y)关于X轴的对称点为P(x；y)的关系为：x二x',y'=-y(4)八=xSxy'=ys（2）关于Y轴的对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于Y轴是对称的，则称此变换为关于Y轴的对称变换。点P(x,y)关于（b）关于y轴对称（3）关于坐标原点的对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形是关于坐标原点对称的，则称此变换为关于坐标原点的对称变换。点P（x,y）关于坐标原点的对称点为的对称点为P（x；yJ的关系为：（4）关于直线y=x的对称变
5、换点P（x,y）关于直线y=x的对称点为P（xy'）两点之间关系为x，二y,y'二x(5)关于直线y=・x的对称变换点P(x,y)关于直线y=・x的对称点为P(x；yJ两点之间关系为：x'二一y,y'二一x(8)对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。5.错切变换错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性物体的变形处理。(1)沿x轴方向关于y的错切如果变换前坐标点(x,y)与变换后对应的新坐标点(x；y)的关系为：x=x4-cy,y=y上式中，c为错切系薮(9)(2)沿y轴方向关于x的错切的关系为:(10)如果变换前坐标点(x,y)与变换后对应的新坐
6、标点(xy*)x』x,y—y+bx上式屮，b为错切系数错切变换不仅改变图形的形状，而月•改变图形的方位，但图形屮的平行关系不壶沿X轴方向关于y的错切(tO沿Y轴方向关于x的诸切㈡几何变换的五种基本变换的矩阵形式•比例变换变换矩阵为T二•旋转变换变换矩阵为T二cosO-sinOsinOcos0•对称变换变换矩阵为T二-10•错切变换变换矩阵为T二•平移变换前四种变换都可以通过变换矩阵T二"hi來实现，但是若要实现平移变换，变cd换前后的坐标必须满Vrx=x+l,y=y+tn但是利用变换矩阵对点进行变换时「rabtq[~•[xy]J=[ax+cy+dy=y这里
7、cy,bx为非常量，因此用2x2变换矩阵无法实现平移变换，我们把2x2矩阵扩充为3x2矩阵,即ah令T=cdIm二维图形的点集矩阵是nx2阶的，而变换矩阵是3x2阶的根据矩阵乘法规则无法相乘，为此我们把点向量也作扩扩充，将卜y]扩充为[兀y1],即把点集矩阵扩充为〃x3阶矩阵。点集矩阵与变换矩阵即可以进行乘法运算:=[ax+cy+lbx+dy+m]平移变换矩阵:对点进行平移变换：y+加]=x_10_1]01=[x+//m这里/，加分别为x,y方向的'卜移量o为使二维变换矩阵具有更多的功能，可将3x2变换矩阵进一步扩充成3x3阶矩阵，即abpT=cdqIms则
8、平移变换矩阵为：「100_T,=010
