二维图形的变换研究

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1、二维图形变换的研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享1、摘要本文对二维平面图形的几何变换和一些特殊变换进行了研究，主要介绍了二维图形变换的函数表示以及矩阵表示，包括公式和图形，并用实例给出了几种几何变换过程。计算机图形学中常见的基本二维图形几何变换用于图形畸变的纠正，并介绍了线性插值的方法。关键词：几何变换，图形方位，图形位置，图形大小2、引言坐标系不动，图形改变，即变换前后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为图形模式变换，也称几何变换。（将一个几何图形的点都变为另一个几何图形的确定的点，称此变换过程为几何变换）我们知道，在计算机图形中，一个无论多么复杂的平面图形最终都可看成

2、为由一系列直线段组成，而每一条直线段均由两点所决定，那么，对平面进行几何变换，实质上是对点做几何变换。例如设（x,y）是二维图形上的任意一点，欲将图形在坐标平面内沿x坐标轴平移一段距离a，那么图形中的任意一点都跟着平移，则其新坐标为：x'=x+a;y'=y，图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一个组成部分。[5]3、基本理论常见的基本二维图形几何变换有平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换和错切变换。我们都知道点是构成图形的基本几何元素之一。㈠下面先来讨论点的几何变换的函数表示。1.平移变换平面上一点（x,y），如果在x轴方向的平移增量为，在y轴方向平移增量时，则平移后所得新

3、点坐标表达式为：(1)平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，如下图所示：2.比例变换一个图形中的坐标点（x,y），若在x轴方向有一个比例系数，在y轴方向有一个比例系数，则该图形的新坐标点(x',y')的表达式为：(2)比例变换不仅改变图形的位置，而且改变图形的大小，如下图所示：3.旋转变换若图形中的坐标点（x,y）绕坐标原点逆时针旋转一个角度，则该点变换后的新坐标(x',y')与交换前的坐标（x,y）的关系为：(3)旋转变换只能改变图形的方位，而图形大小和形状不变，如下图所示：4．对称变换（1）关于X轴的对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于X轴是对称

4、的，则称此变换为关于X轴的对称变换。点P（x,y）关于X轴的对称点为P'(x',y')的关系为：x=x',y'=-y(4)（2）关于Y轴的对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形关于Y轴是对称的，则称此变换为关于Y轴的对称变换。点P（x,y）关于Y轴的对称点为P'(x',y')的关系为：x'=-x,y'=y(5)（3）关于坐标原点的对称变换如果经过变换后所得到的图形与变换前的图形是关于坐标原点对称的，则称此变换为关于坐标原点的对称变换。点P（x,y）关于坐标原点的对称点为的对称点为P'(x',y')的关系为：x'=-x,y'=-y(6)（4）关于直线y=x的对称变换点P

5、（x,y）关于直线y=x的对称点为P'(x',y')两点之间关系为x'=y,y'=x(7)（5）关于直线y=-x的对称变换点P（x,y）关于直线y=-x的对称点为P'(x',y')两点之间关系为：x'=-y,y'=-x(8)对称变换只改变图形方位，不改变其形状和大小。5．错切变换错切变换也称剪切、错位、错移变换，用于产生弹性物体的变形处理。（1）沿x轴方向关于y的错切如果变换前坐标点(x,y)与变换后对应的新坐标点(x',y')的关系为：x'=x+cy,y'=y上式中，c为错切系数(9)（2）沿y轴方向关于x的错切如果变换前坐标点(x,y)与变换后对应的新坐标点(x',y')的

6、关系为：x'=x,y'=y+bx上式中，b为错切系数(10)错切变换不仅改变图形的形状，而且改变图形的方位，但图形中的平行关系不变。㈡几何变换的五种基本变换的矩阵形式4.齐次坐标的概念4.1所谓的齐次坐标[6]表示法就是由(n+1)维向量表示一个n维向量。在齐次坐标系中，n维空间的点（x1，x2，x3，…,xn）用n+1维齐次坐标（x1h，x2h，x3h，…，xnh，h）表示，其中h≠0。反之，若已知n+1维齐次坐标（x1，x2，x3，…，xn，h），则相应的n维空间的点为：二维齐次坐标变换矩阵，简称二维变换矩阵，其形式为：4.2齐次坐标的性质性质1齐次坐标变换把直线段仍变换成

7、直线段性质2齐次坐标变换把平面仍变换成平面性质3齐次坐标变换把多边形仍变换成多边形性质4齐次坐标变换把多面体仍变换成多面体4.3齐次坐标的优越性（1）提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。（2）可以表示无穷远点。例如(n+1)维中，h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远点。对二维齐次坐标（a,b,h）,当h=0时，表示了ax+by=0的直线，即在y=-(a/b)x上的连续点（x,y）逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。5、图形的几何变