《空间向量与平行关系》

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1、3．2立体几何中的向量方法鲁何志新密市第二高级中学第1课时　空间向量与平行关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题．2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点)2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的．共线平行无数法向量3．空间中平行关系的向量表示线线平

2、行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔.线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔.面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔.a＝λba·u＝0u∥v⇔u－λv1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则()A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α解析：因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.答案：D2．设平

3、面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2答案：C3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案：－1464．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，(1)设a，b分

4、别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,

5、0)解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．[规范作答](1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线与不垂直．∴l1与l2相交或异面.4分[题后感悟]利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向

6、量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．2.正方体ABCD－A1

7、B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，分别求平面AED与平面A1FD的法向量．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.由题目可获取以下主要信息：①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2；②E、F分别是BB1、DD1的中点．解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．[题后感悟]利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途

8、径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)，∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CB1D1.1．如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取A