【精品】一次不定方程浅谈

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1、一次不定方程浅谈作者：邱凯平指导老师：曹坤摘要一次不定方程在数论及众多学科中经常会用到，如代数数论，代数几何，组合数学等•本文首先介绍了二元一次不定方程和多元一次不定方程有整数解以及非负整数解的条件及相关性质，然后通过举例总结了一次不定方程求解的若干方法，加深对一次不定方程的了解与认识.关键词一次不定方程通解整数解辗转相除法1引言不定方程在历史上有极其丰富的研究，文献极其丰富，也留下了许多经典难题•另一方面,由于数学应用的空前普遍，方程及不等式的整数解问题研究也有了应用前景•本文首先讨论二元不定方程有整数解的条件及其解法，进而讨论

2、多元一次不定方程的解法，最后举例说明了不定方程在实际中的应用.2二元一次定方程2、1二元一次不定方程的定义及其性质我们知道如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般來说它的解往往是不确定的，例如方程兀-2y=3,方程组卩+『+"‘等，它们的解有无穷多个，即使是整数解也有兀+3y+2z=180.无穷多个.像这类未知数个数多于方程的个数的方程或者方程组，它们的解往往是不确定的，这样的方程或者方程组不定方程或者不定方程组.它又冇什么性质呢？2、1.1二元一次不定方程的定义定义1⑴设a,b,c是整数且ab^O,形如ax+by=c,(1)称

3、Z为二元一次不定方程.例1“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡维三，值钱一•百钱买百鸡.问鸡翁母雏各儿何？”这就是中国古代数学家张丘建解答的题II•设x,y,z分别代表鸡翁、鸡母和鸡雏的数目，就得到方程：5x+3y+丄2=100,3x+y+z=100.消去z，再化简得7x+4,y=100.而7x+4y=l00就是二元一次不定方程.2>1.2二元一次不定方程的性质引理1囚若(d,C)=l,c

4、d/7,则C

5、b.第1页共13页定理1【习设二元一次不定方程ax+by=c(其中”,c是整数,且a上都不是0)有一整数解兀=x0,y=y0；又

6、设(a9b)=d,a=a［d,h=h}d,则(1)的一切解可以表示成x=x{}+h}t,y=y()-a}t,(2)其中心0,±1,±2,….证既然弘儿是(1)的解，当然满足axG+byQ=c.因此，a(xQ+bp)+b(y°—ap)=c+(a%-ba{)t=c.表明对任意的整数/,(2)式是(1)式的解.设x,y是(1)的任一解,则ax+by=c,从此减去ax0+by0=c,即得a(x-无))+/?()/—y())=0.由上式及a=aid,b=bid得到q(兀一兀())=—勺()「—y()).又(a,b)=d,故(q,bj=l.由

7、引理，可知有一整数/使得y'—儿=一〃，亦即y=儿—如.将y'代入上式即得x^x.+b.t.因此x',y'可表示成(2)的形状.故(2)表示(1)的一切整数解.注定理1中x=xQ,y=yQ称Z为(1)的特解，1何(2)称为(1)的通解.性质1⑶整系数方程ax^hy=c(0qb时方程

8、有一组非负整数解；(2)当cqb时，c_qb=(p_p)a得c=qb+(p_p)a,因而有一组解兀=p-p,y=q；③当c

9、1)有一组非负整数解的c值有(a+l)(b+l)2-1个，而使方程无非负整数解的c值有⑺-1)(—1)2证因(a9b)=l,当qb-pa+r,c=pa--r

10、下有整数解，什么条件时有非负整数解？乂是如何求解的呢？下面來一一讨论.2、2.1二元一次不定方程有整数解的条件引理2⑵若是任意两个不全为零的整数，则存在两个報数使得as+bt={a.b)・定理2囚(1)式有整数解的充分必要条件是(d,b)

11、c.证若