2019高考数学二轮复习 大题专项练习(六)函数与导数 文

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1、大题专项练习(六) 函数与导数1.[2018·黑龙江大庆实验中学月考]设函数f(x)=alnx-bx2.(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=相切,求函数f(x)在上的最大值;(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围.2.[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.3.[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)

2、≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.4.[2018·陕西吴起期中]已知函数f(x)=a2lnx+ax-x2+a.(1)讨论f(x)在(1,+∞)上的单调性;(2)若∃x0∈(0,+∞),f(x0)>a-,求正数a的取值范围.5.[2018·山东实验中学二模]已知函数f(x)=.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=ex-1+e1-x+k有实数解,求实数k的取值范围;(3)求证x+1+(x+1)lnx

3、(1)函数f(x)的图象能否与x轴相切,若能,求出实数t,若不能,请说明理由;(2)讨论函数f(x)的单调性.大题专项练习(六) 函数与导数1.解析:(1)f′(x)=-2bx,则∴a=1,b=,∴f(x)=lnx-x2(x>0),f′(x)=-x=,当0,当1

4、(a)=alnx-x,则h(a)为一次函数,∴m≤h(a)min.∵x∈(1,e2],lnx>0,∴h(a)min=h(0)=-x,∴m≤-x对∀x∈(1,e2]都成立,∴m≤-e2.即实数m的取值范围是(-∞,-e2].2.解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=ex-lnx-1,f′(x)=ex-.当02时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-lnx-1.设g

5、(x)=-lnx-1,则g′(x)=-.当01时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.3.解析:(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2

6、e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)没有零点.②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)只有一个零点.③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h

7、(x)在(0,2)有一个零点;由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0,故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.4.解析:(1)f′(x)=+a-2x=-(x>0),当a>1时,10,f(x)为增函数;x>a时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当0-,f′(x)<0,f(x)为减函数;当1

8、0,f(x)为增函数;当-2≤a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.综上,当a<-2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增;当-2≤a≤1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减;当a>1

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