2018年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5

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1、2018年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5利用正、余弦定理解三角形(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．[典例]　设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)若a＝3，c＝5，求b.[解]　(1)

2、由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，所以b＝.[类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)A．30°　B．60°C．120°D．150°解析：选A　由正弦定理可知c＝2b，则co

3、sA＝＝＝＝，所以A＝30°，故选A.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：＝，sinB＝，又0a，可得B＝或.答案：或3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sin

4、C＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，＝－.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例]　在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．[解]　∵(a2＋b

5、2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得2sin2AcosAsinB＝2sin2BsinAcosB，即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0

6、边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：选D　∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴c

7、osA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)．故△ABC为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC中，已知3b＝2asinB，且A，B，C成等差数列，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C　∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，即3B＝π，解得B＝.∵3b＝2asinB，∴根据正弦定理得3sinB＝2sinAsinB．∵sinB≠0，∴3＝2sinA，即sinA＝，即A＝或，