2019届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用训练 理 新人教版

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1、第6节　正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,2,3,7与面积相关的问题4,8,9,10实际应用问题5,11综合问题6,12,13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,若A=,cosB=,b=8,则a等于(　D　)(A)(B)10(C)(D)5解析:因为cosB=,0

2、C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理及已知,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sinA=sin2A.因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以sinA=1,即A=,故选B.3.(2017·南开区一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,c-a=2,b=3,则a等于(　A　)(A)2(B)(C)3(D)解析:因为c=a+2,b=3,cosA=,所以由余弦定理可得cosA=,即=,解得a=2.故选A.4.(2017·山东平度二模)在△ABC中,A,B,C所对的边分别

3、为a,b,c,若A=60°,a=,b+c=3,则△ABC的面积为(　B　)(A)(B)(C)(D)2解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,因为a=,b+c=3,A=60°,所以3=9-3bc,解得bc=2,所以S△ABC=bcsinA=×2×=,故选B.5.(2017·甘肃一模)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45°,在D点测得塔顶的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度是(　B　)(A)30m(B)40m(C)40m(D)40m解析:由题意,设AB=xm,则BD=xm,

4、BC=xm,在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40m,根据余弦定理,得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos∠DCB,即(x)2=402+x2-2×40·x·cos120°,整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍),即所求电视塔的高度为40m.故选B.6.(2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(　A　)(A)a=2b(B)b=2a(C)A=2B(D)B=2A解析:因为等式右边=sinAcosC+(si

5、nAcosC+cosAcosC)=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,等式左边=sinB+2sinBcosC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.由cosC>0,得sinA=2sinB,根据正弦定理,得a=2b,故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 解析:由正弦定理=得=,所以sinB=,又b

6、内角A,B,C的对边,若A=,b=,△ABC的面积为,则a的值为　　　　. 解析:因为由S△ABC=bcsinA,可得××c×sin=,解得c=2,所以a2=b2+c2-2bccosA=2+8-2××2×(-)=14,解得a=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆的面积为(　C　)(A)4π(B)8π(C)9π(D)36π解析:因为bcosA+acosB=2,所以由余弦定理可得b×+a×=2,解得c=2,又因为cosC=,可得sinC==,所以设三角形的外接圆的半径为R,

7、则2R===6,可得R=3,所以△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π.故选C.10.(2017·河北一模)△ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于(　D　)(A)(B)(C)或(D)或解析:AB=,AC=1,cosB=cos30°=,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即1=3+BC2-3BC,即(BC-1)(BC-2)=0,解得BC=1或BC=2,当BC=1时,△ABC的面积S=AB·BCsinB=××1×=,当BC=2时,△ABC的面积S=