2019年高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知

2、a

3、=1,

4、b

5、=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　)A.60°　　　B.30°　　　C.135°　　　D.45°【解析】选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b=

6、a

7、2-

8、a

9、·

10、b

11、·cos=1-1··cos=0,所以cos=.因为0°≤≤180°,所以=45°.2.(xx·广州高二检测)若a,b均为非零向量,则a·b=

12、a

13、

14、b

15、是a与b共线的(　　)A.充分不必要条件B.必要

16、不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.a·b=

17、a

18、

19、b

20、⇒cos=1⇒=0°,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,a·b=-

21、a

22、

23、b

24、.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么

25、a+3b

26、等于(　　)A.B.C.D.4【解析】选C.

27、a+3b

28、2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=13.所以

29、a+3b

30、=.4.(xx·青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　)A.8B.C.4D.【解析】选D.cos==,所以s

31、in=,所以平行四边形的面积S=

32、a

33、

34、b

35、sin=.5.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于(　　)A.6B.6C.12D.144【解析】选C.因为=++,所以=+++2·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以

36、

37、=12.6.(xx·福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则(　　)A.m∥nB.m⊥nC.m,n既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能【解析】选B.因为m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,所以m⊥n.【一题多解】选B.由向量n=

38、λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0)知向量n与向量a,b共面,故向量m⊥n.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于　　　　.【解析】a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,

39、a

40、=3,

41、b

42、=1,

43、c

44、=4,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a

45、)=0,所以a·b+b·c+c·a=-=-13.答案:-139.(xx·聊城高二检测)设

46、m

47、=1,

48、n

49、=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=　　　　.【解析】因为(2m+n)⊥(m-3n),所以(2m+n)·(m-3n)=0,化简得m·n=-2.又因为

50、a

51、====6,

52、b

53、===3,a·b=(4m-n)·(7m+2n)=28

54、m

55、2-2

56、n

57、2+m·n=18,所以cos===1,得=0°.答案:0°【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)·(7a-5b)=7

58、a

59、

60、2-15

61、b

62、2+16a·b=0,(a-4b)(7a-2b)=7

63、a

64、2+8

65、b

66、2-30a·b=0,解之得

67、b

68、2=2a·b=

69、a

70、2,所以cos==,所以=60°.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求·的值.【解析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.·=(-)·=·-·,由于·=·(+)=·=1,·=

71、

72、·

73、

74、cos60°=××=1.所以·=0.11.(xx·牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,

75、且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.求证:CC1⊥BD.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.【证明】设=a,=b,=c,则

76、a

77、=

78、b

79、.因为=-=b-a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=

80、b

81、

82、c

83、cos60°-

84、a

85、

86、c

87、cos60°=0,所以⊥,即CC1⊥BD.(30分钟　50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,a⊥b,e1,e2