2019年高中数学 2.3数学归纳法同步测试 新人教B版选修2-2

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1、2019年高中数学2.3数学归纳法同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(　　)A．1　　　B．1＋qC．1＋q＋q2D．1＋q＋q2＋q3[答案]　C[解析]　左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边的式子之比是(　　)A.B．C.D．[答案]　B[解析]　＝＝.故选B.3．用数学归纳法证明＋＋…＋

2、>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项＋C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对[答案]　C[解析]　n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋∴增加了＋，减少了一项.故选C.4．(xx·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]　B[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故

3、应选B.5．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝4时该命题不成立B．当n＝6时该命题不成立C．当n＝4时该命题成立D．当n＝6时该命题成立[答案]　A[解析]　由命题及其逆否命题的等价性知选A.6．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(　　)A．n为任何正整数都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立[答案]　B[解析]　经验证，n＝1,2,3时成立，n＝4,5，…不成

4、立．故选B.7．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(　　)A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos3α＋cos5α[答案]　B[解析]　令n＝1，左式＝＋cosα.故选B.8．(xx·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案

5、]　A[解析]　因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题9．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．[答案]　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．[答案]

6、　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．[答案]　5[解析]　25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．[证明]　(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立．即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2

7、k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2·(k＋1)－1]即n＝k＋1时等式成立．由(1)、(2)可知，对任何n∈N*等式均成立.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D．[答案]　B[解析]　n＝k时左式＝(k＋1)

8、(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘＝2(2k＋1)．故选B.