2019-2020年高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数

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1、2019-2020年高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数●教学目标(一)教学知识点1.公式1C′=0(C为常数)2.公式2(xn)′=nxn－1(n∈Q)3.公式3(sinx)′=cosx4.公式4(cosx)′=－sinx5.变化率(二)能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.(三)德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.●教学重点四种常见函数的导数C′=0(C为常数)，(xn)′=nxn－1(x∈Q)，(sin

2、x)′=cosx，(cosx)′=－sinx.●教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的.●教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n∈N*的情况.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y=C(C是常数)，求y′.［学生板演］解：y=f(x)=C∴Δy=f(x+Δx)－f(x

3、)=C－C=0=0y′=C′==0，∴y′=0.2.y=xn(n∈N*)，求y′.［学生板演］解：y=f(x)=xn∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)n－xn=xn+xn－1Δx+xn－2(Δx)2+…+(Δx)n－xn=xn－1Δx+xn－2(Δx)2+…+·(Δx)n=xn－1+xn－2Δx+…+·(Δx)n－1∴y′=(xn)′==（xn－1+xn－2Δx+…+(Δx)n－1)=xn－1=nxn－1∴y′=nxn－13.y=x－n(n∈N*)，求y′.［学生板演］解：Δy=(x+Δx)－n－x－n=y′=∴y′=－nx－n－1※4.y=

4、sinx，求y′(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx∴y′==－2sinx·1·0+cosx=cosx∴y′=cosx［生乙］Δy=sin(x+Δx)－sinx∴y′=∴y′=cosx(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下).※5.y=cosx，求y′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosxy′=∴y′=－sinx［生乙］解：.∴y′=－sinx.［师］所以由4

5、、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1C′=0(C是常数)公式2(xn)′=nxn－1(n∈R)公式3(sinx)′=cosx公式4(cosx)′=－sinx(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求.(1)(x3)′(2)()′(3)()′［学生板演］(1)解：(x3

6、)′=3x3－1=3x2(2)解：()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3(3)解：(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下).(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s′(t).［板书］物体按s=s(t)做直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0)v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化

7、率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.［生］例如角速度、电量等.［师］是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量).［学生分析］由变化率的涵义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.解：C=Q′(T)，即热容量为Q′(T)J/K

8、.［师］单位质量物质的热容量叫做比热，那么上例中，如果物质的质量是vmol，那么