2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法同步配套教学案新人教A版选修4-5

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1、2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法同步配套教学案新人教A版选修4-5　　　　　　　　　　　　对应学生用书P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：①证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题正确；②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)

2、时结论正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都正确．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P39利用数学归纳法证明恒等式[例1]　证明：当n≥2，n∈N＋时，…＝.[思路点拨]　注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.∴当n＝2时，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：…(1－)＝当n＝k＋1时，…＝＝·＝＝.∴当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注

3、意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有1－＋－＋…＋－＝2成立时，(1)第一步检验的初始值n0是什么？(2)第二步归纳假设n＝2k时(k∈N＋)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立．解：(1)n0为2.此时左边为1－，右边为2×＝.(2)假设n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数

4、)时，命题也成立．(3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立．2．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋＋＋…＋＝.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何x∈N＋等式都成立．用数学归纳法证明整除问题[例2]　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路点拨]　本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式

5、(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明．[证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．利用数学归纳法证明整除时，

6、关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·

7、7k，由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．则①②可知对所有正整数n命题成立．4．用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N＋)能被x＋2整除．证明：(1)n＝1时，1－(3＋x)＝－(x＋2)，能被x＋2整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，1－(3＋x)n能被x＋2整除，则可设1－(3＋x)k＝(x＋2)f(x)(f(x)为k－1次多项式)，当n＝k＋1时，1－(3＋x)k＋1＝1－(3＋x)(3＋x)k＝1－(3＋x)[1

8、－(x＋2)f(x)]＝1－(3＋x)＋(x＋2)(