2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修基础·巩固1.如下图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和.思路分析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a1b1+a2b2,而空白面积=a1b2+a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案.答案：≥2.设a、b、c为某一三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单

2、调性质去寻找，如f(x)=x2在R+单调递增，f(x)=在R+单调递减.证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).由排序原理得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤a·b(c+a-b)+b·c(a+b-c)+c·a(b+c-a)=3abc.3.对a,b,c∈R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小.思路分析:将式子理解为积的形式a2·a+b2·b+c2·c,a2b+b2c+c2a,再依大小关系可求解.解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2.不论a,b,c的大小顺序如何，a3+b

3、3+c3都是顺序和，a2b+b2c+c2a都是乱序和；故由排序原理可得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.4.求证:正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1′,a2′,…，an′，则有≥n.思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n理解为n个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视.证明：取两组数a1,a2,…,an；,,…,.其反序和为=n，原不等式的左边为乱序和，有≥n.5.已知a,b,c∈R+，求证：≥a10+b10+c10.思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为

4、积的形式.证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a12≥b12≥c12>0,则=a10+b10+c10.6.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：.思路分析：在证明不等式时，要掌握对数字的一个变形，合理构造，才会使题迎刃而解.证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1

5、：（1）()2+()2≥+；（2）；（3）++≤.思路分析：本题（2）的关键是如何对常数进行处理.这里除了要用到构造法，还要运用不等式的可加性.证明：由题设不妨设a≥b≥c>0.（1）由不等式的单调性知a2≥b2，≥，于是.由排序原理：，即()2+()2≥+.（2）由不等式的单调性知且a≥b≥c>0，由排序原理：，，两式相加得所证不等式成立.（3）由不等式的单调性知≥，因而.根据不等式的单调性知a5≥b5≥c5，由排序不等式得.又由不等式的单调性知a2≥b2≥c2，，根据排序原理：.由不等式的传递性可知+.综合·应用8.设a，b，c都是正数，求证：（1）≥

6、a+b+c；（2）a+b+c≤；（3）an(a2-bc)+bn(b2-ac)+cn(c2-ab)≥0（n是任意正数）.思路分析：证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法,后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.证明：由题设不妨设a≥b≥c>0.（1

7、）由不等式的单调性知ab≥ac≥bc，≥≥，由排序原理：ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×，即所证不等式成立.（2）由不等式单调性知a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，又由排序原理：a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.又由不等式单调性知a3≥b3≥c3，且a≥b≥c，再由排序原理：a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.由上述两式及不等式的传递性可得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc可得，需证不等式成立.（3）只需证an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab.①由不等式的单调性知

8、an+1≥bn+1≥cn+1，又a≥b≥c.由排序原理得an+2+