2017-2018学年高中数学 第四章 导数及其应用 4.5 定积分与微积分基本定理 4.5.4 微积分基本定理分层训练 湘教版选修2-2

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1、4．5.4　微积分基本定理一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是(　　)①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.A．①B．①②C．①②④D．①②③④答案　D2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是(　　)A．F(x)＝x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝x3＋1D．F(x)＝x3＋c(c为常数)答案　B解析　若F(x)＝x3，则F′(x)＝

2、3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.3.(ex＋2x)dx等于(　　)A．1B．e－1C．eD．e＋1答案　C解析　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)

3、＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.4．已知f(x)＝，则f(x)dx的值为(　　)A.B.C.D．－答案　B解析　f(x)dx＝x2dx＋1dx＝＋1＝＋1＝，故选B.5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．答案　解析　由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数

4、T的值为________．答案　3解析　x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.7．已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．解　∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴(x3＋ax)dx＝0，∴(x3＋ax＋3a－b)dx＝(x3＋ax)dx＋(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3，①又f(t)＝＝＋＋(3a－b)t为偶函数，∴3a－b＝0，②由①②得a＝－3，b＝－9.二、能力提升8．sin2dx等于(　　)A.B.－1C

5、．2D.答案　D解析　sin2dx＝dx＝＝，故选D.9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D.S3＜S2＜S1答案　B解析　S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln2＜1，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.答案　1解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3

6、＝x＋a3，所以f(0

7、)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．解　∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝a＋b＝.由，得.即f(x)＝4x＋3.12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．解　由积分的性质，知：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝x3dx＋dx＋2xdx＝＝＋－＋－＝－＋＋.三、探究与创新13．求定

8、积分

9、x＋a

10、dx.解　(1)当－a≤－4即a≥4时，原式＝(x＋a)dx＝＝7a－.(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，原式＝[－(x＋a)]dx＋(x＋a)dx＝－4a＋8＋＝a2－a＋.(3)当－a≥3即a≤－3时，原式＝[－(x＋a)]dx＝＝－7a＋.综上，得

11、x＋a

12、dx＝