2019-2020年高考数学一轮复习 第4讲 平面向量课后练习 理

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第4讲平面向量课后练习理题一：已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．题二：定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：（由于是相等向量，因此只算一个）．（1

2、）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（

3、m×n），试求f（m×n）的值．题三：如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，则与的夹角θ等于________．题一：已知点P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设＝＋.(1)求点M的轨迹方程；(2)求向量和夹角最大时的余弦值，并求此时P点的坐标．题二：设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且＝m＋n，m，n∈R，则m2＋(n－2)2的取值范围为________．题三：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ

4、的最小值为________．第4讲平面向量经典精讲题一：-5．详解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（-1，0）+（-1，-1）]=-5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（-1，0）+（0，-1）]=-3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（-1，-1）+（0，-1）]=-4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0

5、）+（0，1）]•[（-1，0）+（-1，-1）]=-3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=-5，-4，或-3．所以的最小值是-5．故答案为：-5．题一：（1）14；（2）6n+2；（3）34；（4）2（m+n）+4mn．详解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=2

6、0，f（4）=6×4+2=26，∴f（n）=6n+2；（3）f（2×3）=34；（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．题二：．详解：因为△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝·＝，所以·＝.又因为·＋·＝2，所以·(＋)＋·(＋)＝2，即1＋·＋＋·＝2，所以·＋·＝.因为＝－，所以－·＋·＝，即(－)＝，所以·＝，所以cosθ＝，故θ＝.题三：（1）＋y2＝1；（2）余弦值为，此时P点坐标为．详解：(1)设P(

7、x0，y0)，M(x，y)，则＝(x0，y0)，＝(x0，0)，＝＋＝(2x0，y0)．∴⇒∵x＋y＝1，∴＋y2＝1.故点M的轨迹方程为＋y2＝1.(2)设向量与的夹角为α，则cosα＝＝＝，令t＝3x＋1，则cosα＝＝≥，当且仅当t＝2时，等号成立，即α最大．∴与夹角最大时的余弦值为，此时P点坐标为．题一：(1,5).详解：因为点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，所以0

8、)的距离最远，这时m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范围为(1,5