2019-2020年高考数学大一轮复习 7.3基本不等式及其应用试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习7.3基本不等式及其应用试题理苏教版一、填空题1．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案　32．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．解析　由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.答案　3．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式：①log2a＞0；　②2a－b＜；③2＋＜；④log2a＋log2b

2、＜－2，其中正确的是________．解析　由0＜a＜b，且a＋b＝1，得0＜a＜＜b＜1，所以log2a＜0.易得a－b＞－1，所以2a－b＞，由＋＞2，得2＋＞4，由1＝a＋b＞2(a≠b)，得ab＜，所以log2a＋log2b＝log2ab＜－2，仅④正确．答案　④4．在等式“1＝＋”两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．解析　设括号内填入的两个正整数为x，y，则有＋＝1，于是x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当y2＝9x2，即x＝4，y＝12时等号成立．此时x＋y取最小值16.故应填4和12.答案　4和125．已知函数f(x

3、)＝2x，f(a)·f(b)＝8，若a＞0且b＞0，则＋的最小值为________．解析　因为f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b＝8，所以a＋b＝3，所以＋＝(a＋b)＝≥＝3，当且仅当b2＝4a2，即a＝1，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为3.答案　36．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案27．已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别

4、为，x，y，则＋的最小值为________．解析依题意得·＝

5、

6、·

7、

8、cos30°＝2，则

9、

10、·

11、

12、＝4，故S△ABC＝

13、

14、·

15、

16、sin30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)·＝2≥2＝18，当且仅当＝，即y＝2x＝时，等号成立，因此＋的最小值为18.答案188．已知a，b∈R，且ab＝50，则

17、a＋2b

18、的最小值是________．解析依题意得，a，b同号，于是有

19、a＋2b

20、＝

21、a

22、＋

23、2b

24、≥2＝2＝2＝20(当且仅当

25、a

26、＝

27、2b

28、时取等号)，因此

29、a＋2b

30、的最小值是20.答案209．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单

31、位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案5　810．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________．解析2a＋2b≥2＝2＝2·＝4∴2a＋2b≥4.答案4二、解答题11．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在

32、现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．(1)设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？(总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费)解　(1)t＝＝.(2)设总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费．y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t)＝125·x·＋100x＋30000＋＝1250·＋100(x－2＋2

33、)＋30000＋＝31450＋100(x－2)＋≥31450＋2＝36450.当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36450.12．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.∴3xy－2－1≥0.即3()2－2－1≥0.∴(3＋1)(－1)≥0.∴≥1.∴