2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系优化练习新人教A版选修2

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1、第2课时空间向量与垂直关系[课时作业][A组　基础巩固]1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)A．圆B．直线C．平面D．线段解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．答案：C2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　)A.B.C.D.解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.所以n＝(1，－2,2)．由于

2、n

3、＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.答案：B

4、3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.答案：B4．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－

5、1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为(　　)A.B.C.D.解析：＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，·＝0，·＝0.∴x＝，z＝－.答案：A5．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐

6、标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，＝(，，－)，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.答案：B6．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2),且l⊥α，则m＝________.解析：平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ，∴∴m＝4.答案：47．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2

7、cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由OP⊥OQ，所以·＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.答案：或8．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为________．解析：＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，＝(1,3，－1)－

8、(1，－1,2)＝(0,4，－3)，cos〈，〉＝＝＝－，sin〈，〉＝＝＝，∴AC边上的高为

9、AB

10、sin〈，〉＝×＝5.答案：59.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E，F分别为线段AB，PD的中点．求证：(1)AF∥平面PEC；(2)AF⊥平面PCD.证明：以A为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝a，PA＝AD＝1，则P(0,0,1)，C(a,1,0)，E，D(0,1,0)，F.(1)＝

11、，＝，＝，∴＝＋，又AF⊄平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)＝(0,1，－1)，＝(－a,0,0)，·＝·(0,1，－1)＝0，·＝·(－a,0,0)＝0，∴⊥，⊥，即AF⊥PD，AF⊥CD，又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.10.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并给出证明．解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.依题意，

12、a

13、＝

14、b

15、.，，中两两所

16、成的夹角为θ，于是＝－＝a－b，·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝

17、c

18、

19、a

20、cosθ－

21、c

22、

23、b

24、cosθ＝0，∴⊥.∴C1C⊥BD.(2)若使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝

25、a

26、2＋a·b－b·c－

27、c

28、2＝

29、a

30、2－

31、c

32、2＋

33、b

34、

35、a

36、cosθ－

37、b

38、

39、c

40、cosθ＝0，当

41、a

42、＝

43、c

44、时，A1C⊥DC1，同理可证当

45、a

46、＝

47、c

48、时，A1C⊥BD，∴＝1时，A1C⊥平面C1BD.[B组　能力提升]