《工程随机过程》复习提要

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1、《工程随机过程》复习提要一、特征函数1.会求给定分布的随机变量的特征函数2.会利用特征函数的几个简单性质进行求解（1）线性变换的特征函数（2）独立随机变量和的特征函数（3）独立随机变量线性组合的特征函数二、随机过程的基本概念及分类1.随机过程的一维分布求解2.简单随机过程的二维分布求解3.随机过程的数字特征的求解（1）均值函数（2）自相关函数（3）协方差函数（4）方差函数4.几个常见随机过程的特性（1）正态过程（2）Poisson过程（3）维纳过程三、马尔科夫过程1.马尔科夫链（1）一步转移概率矩阵的求解（2）利用一步转

2、移概率矩阵判断各状态（3）利用一步转移概率矩阵求解高阶转移概率矩阵（4）常返态和非常返态的判定（5）马尔可夫链预测（6）马尔可夫链的平稳分布的求解2.时间连续、状态离散的马尔可夫链（1）利用向前、向后方程求解转移概率函数四、平稳过程1.宽平稳过程的判定2.二阶矩过程的定义3.均方极限的定义五、时间序列分析1.三个线性模型的基本性质（1）AR(p)模型的平稳性判定（2）MA(q)模型的可逆性判定（3）ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性判定2.自相关函数的求解（1）MA(q)模型自相关函数的求解（2）AR(p)模型的自相

3、关函数的求解例1设随机过程X(t)=Xcos(t)(

4、求Z(t)的协方差函数。例5设有独立重复试验序列{xn,n1}。以Xn=1记第n次试验时事件A发生，且P{Xn=1}=p；以Xn=0记第n次试验时事件A不发生，且P{Xn=0}=1p=q。求k步转移概率矩阵。例6设{xn,nT}是一个齐次马尔科夫链，其状态空间E={a,b,c}，转移概率矩阵为例7（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。因此问题是两个状态的马尔科夫链。求今天有雨且第

5、四天仍有雨的概率（取=0.7，=0.4）例8甲乙两人进行一场比赛，设每局比赛甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，和局的概率为r，且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分，负者记-1分，和局记零分。当有一人获得2分时比赛结束。以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则{Xn，n1}是齐次马尔可夫链。（1）写出状态空间E；（2）求出二步转移概率矩阵；（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率。例9设E={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵为试对其状态进行分类，确定哪些状态为常返态。例10已知马尔可夫链{xn,n0}的状

6、态空间为E={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵如图所示，试对其状态进行分类并判断哪个是常返态。12341111/41/41/41/4例11设一马尔可夫链的转移概率矩阵为讨论此马氏链的遍历性。例12设齐次马氏链的转移概率矩阵为讨论马氏链的遍历性，并求其平稳分布。例13如图给出了六个车站间的公路连通情形。设汽车每天从一个车站驶向一直接相邻的车站，并当晚到达该站留宿，次日继续相同的活动。设每天汽车开往临近任一车站都是等可能的，试证明经很长时间后，各站每晚留宿的汽车比例趋于稳定，求出这个比例。213456例14设参数连续、状

7、态离散的马尔科夫过程{X(t),t0}，其状态空间为E={1,2,···,m}，当ij且i,j=1,2,···,m时，qij=1；当i=1,2,···,m时，qii=(m1)。求pij(t)。例15设有正弦波过程X(t)=Acos(t+)，其中振幅A、角频率是常数，相位是在[,]上服从均匀分布的随机变量，求X(t)的均值与相关函数，判断{X(t)，tT}是否是平稳过程？例16设{X(t)，t(,+)}是一个零均值的平稳过程，且不恒等于一个随机变量，问X(t)+X(0)，t(,+)是

8、否仍是平稳过程？例17设{X(t)，tT}是一均方可微的实平稳过程，令，tT，证明{Y(t),tT}是实平稳过程。例18给定一个随机变量，其特征函数为(v)，另给定常数，构造一个随机过程X(t)=cos(t+)，证明：当且仅当(1)=(2)=0时，X(t)是平稳过程。例19设随机过程由下述三个样本