（京津鲁琼专用）2020版高考数学专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练典型习题

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1、第4讲　圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2＋y2＝相切于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且·＝0，求证：直线l过定点．解：(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM＝2，则直线PQ的斜率kPQ＝－＝－，所以直线PQ的方程为y－＝－，即x＋2y＝2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线l的斜率不存

2、在时，显然不满足条件．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋n(n≠1)，由，消去y整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，得4k2＋1>n2.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.②由·＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，所以(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③由②③得n＝1(舍)，或n＝－，

3、满足①.此时l的方程为y＝kx－，故直线l过定点.2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．解：(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.因为S△F1PF2＝

4、F1F2

5、·

6、y0

7、≤·2c·b＝bc，所以bc＝4.又e＝＝，a2＝

8、b2＋c2，所以a＝4，b＝2，c＝2，所以C的方程为＋＝1.(2)由(1)可知A(－4，0)，B(4，0)，F1(－2，0)．由题可知，x0≠2，且x0≠±4.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)，令x＝2得y＝6k1，故M(2，6k1)．直线PB的方程为y＝k2(x－4)，令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)．记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1－k2)．如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT，则

9、F1T

10、2＝

11、F1D

12、2－

13、DT

14、2，

15、所以

16、F1T

17、2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又k1＝，k2＝，所以k1·k2＝·＝，由＋＝1，得y＝－(x－16)，所以k1·k2＝－，则

18、F1T

19、2＝16－12k1k2＝16－12×＝25，所以

20、F1T

21、＝5.故切线长为定值5.3．(2019·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠P

22、NM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2＝4x.法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得＝

23、x＋1

24、，化简得y2＝4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN＋kQN＝0.①易

25、知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2，由，得y2－4my＋8＝0.由Δ＝(－4m)2－4×8>0，得m>或m<－.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.由①得kPN＋kQN＝＋＝＝0，所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0，即y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0.消去x1，x2，得y1y＋y2y－x0(y1＋y2)＝0，即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，所以存在点N(2，0)，使得∠QN

26、M＋∠PNM＝π.4．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设＝＋，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，因