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《2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习课学案新人教B版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章空间向量与立体几何空间向量及其运算【例1】 (1)在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为△ABC的重心，用基向量，，表示向量.(2)已知三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．①求以AB，AC为边的平行四边形的面积．②若
2、a
3、＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．[解] (1)如图，连接AG并延长交BC于点D.∴D为BC的中点，∴＝(＋)．∵G为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，又∵＝－，＝－，∴＝(＋)＝(－2＋＋)．∵M为OA的中点，∴＝－.∴＝－＝(－2＋＋)
4、＋＝－＋＋.(2)①由题意，可得＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×
5、
6、·
7、
8、·sin〈，〉＝14×＝7.②设a＝(x，y，z)，由题意，得，解得或.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．(1)向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.(2)熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)
9、，①加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2).②数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.③向量夹角：cos〈a，b〉＝.④向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则＝r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2).提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.1．已知a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解] 由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即3t－＜0，
10、所以t＜.若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb，即(5,3,1)＝λ，所以所以t＝－，故t的范围是∪.利用空间向量证明平行、垂直问题【例2】 四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面FCD.[证明] 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E.(1)＝，＝(a，a,0)．设
11、平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝，因为·n＝(a,0，－b)·＝0，所以⊥n，故PC∥平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)，又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)，设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，所以m＝，因为·m＝(0，a,0)·＝0，所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直
12、.②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法①转化为线线平行、线面平行处理.②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法①转化为证明线面垂直.②证明两个平面的法向量互相垂直.2．如图所示，长方体ABCDA1B1C
13、1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D.(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置．[解] (1)因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线
14、为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB＝2，AD＝2，A1A＝3，所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因为M，N分别在BB1，DD1上，所以设N(2,0，z)，M(0,2，y)，则＝(－2,0，y)，＝(0，－2，z)，＝(－2,0，－3)，＝(0，－2，－3)，因为
