2019年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2

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1、2019年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2一、选择题1．函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是(　　)A．(－∞，e－2)　B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)【解析】　因为y＝x＋xlnx，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋lnx<0，解得0

2、是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【解析】　由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.【答案】　C3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)A．a≤0B．a<1C．a<2D．a≤【解析】　f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.【答案】　A4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.

3、则f(x)>2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】　构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.【答案】　B5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)【解析】　f′(x)＝－3x

4、2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.【答案】　B二、填空题6．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为__________.【解析】　令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得0，得a2>1，解得a<－1或a>1.【答案】　(－∞，－1)

5、∪(1，＋∞)8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.【解析】　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.【答案】　(0，＋∞)三、解答题9．(xx·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；②f(x)的导函数是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．求函数y＝f(x)的解析式．【解】　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f(x)在(－∞

6、，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．【解】　因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由

7、根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．[能力提升]1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图134所示，那么y＝f′(x)，y＝g′(x)的图象可能是(　　)图134【解析】　由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的

8、斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)