2019年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

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1、2019年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2一、选择题1.函数y=x+xlnx的单调递减区间是(  )A.(-∞,e-2) B.(0,e-2)C.(e-2,+∞)D.(e2,+∞)【解析】 因为y=x+xlnx,所以定义域为(0,+∞).令y′=2+lnx<0,解得0

2、是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(3,5)上f(x)是增函数【解析】 由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以函数f(x)在(4,5)上单调递增.故选C.【答案】 C3.若函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则(  )A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤【解析】 f′(x)=3ax2-1.因为函数f(x)在R上是减函数,所以f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,所以a≤0.故选A.【答案】 A4.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2.

3、则f(x)>2x+4的解集为(  )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)【解析】 构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f′(x)>2.∴g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)是R上的增函数.∴f(x)>2x+4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(-1),∴x>-1.【答案】 B5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是(  )A.(-∞,-)∪[,+∞)B.[-,]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-,)【解析】 f′(x)=-3x

4、2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为0,Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤.【答案】 B二、填空题6.函数f(x)=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为__________.【解析】 令f′(x)=1-2cosx>0,则cosx<,又x∈(0,π),解得0,得a2>1,解得a<-1或a>1.【答案】 (-∞,-1)

5、∪(1,+∞)8.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是__________.【解析】 若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则y′=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.【答案】 (0,+∞)三、解答题9.(xx·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:①f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数;②f(x)的导函数是偶函数;③f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.求函数y=f(x)的解析式.【解】 f′(x)=3ax2+2bx+c,因为f(x)在(-∞

6、,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数,所以f′(-1)=3a-2b+c=0.①由f(x)的导函数是偶函数,得b=0,②又f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直,所以f′(0)=c=-1,③由①②③得a=,b=0,c=-1,即f(x)=x3-x+3.10.若函数f(x)=x3-mx2+2m2-5的单调递减区间是(-9,0),求m的值及函数的其他单调区间.【解】 因为f′(x)=3x2-2mx,所以f′(x)<0,即3x2-2mx<0.由题意,知3x2-2mx<0的解集为(-9,0),即方程3x2-2mx=0的两根为x1=-9,x2=0.由

7、根与系数的关系,得-=-9,即m=-.所以f′(x)=3x2+27x.令3x2+27x>0,解得x>0或x<-9.故(-∞,-9),(0,+∞)是函数f(x)的单调递增区间.综上所述,m的值为-,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-9),(0,+∞).[能力提升]1.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图134所示,那么y=f′(x),y=g′(x)的图象可能是(  )图134【解析】 由题图,知函数g′(x)为增函数,f′(x)为减函数,且都在x轴上方,所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大,而f(x)的图象上任一点的切线的

8、斜率都大于0且在减小.又由f′(x0)=g′(x0)

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