11.自由曲线与曲面-2

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1、第11讲自由曲线与曲面－2华中科技大学CAD中心吴义忠cad.wyz@hust.edu.cn主要内容11.1解析曲面11.2Bezier曲面11.3B样条曲面11.4NURBS曲面11.5曲面的其它表达11.6曲面求交算法11.1解析曲面（代数曲面）代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求适合构造简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序实现量大工程设计交互性差因此，CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD

2、系统中常见。给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线定义为：11.2Bezier曲面的定义-张量积曲面展开上式得：双三次Bezier曲面P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系Bezier曲面的特性1）2）事实上，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。vu1010xyzo3）4)其它特性与Bezier曲线类似

3、：Bezier曲面的计算与绘制Bezier曲面的拼接，即两曲面的首末控制点相同。A）G0连续B）G1连续最简单直接的方法为：，即有公共切平面为了实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。Bezier曲面的不足

4、类似Bezier曲面，将均匀三次B样条曲线推广可得到均匀双三次B样条曲面的定义如下：11.3B样条曲面B样条曲面的性质由此可见，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，并比Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。B样条曲面的计算与绘制先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制B样条曲面的反算借鉴B样条曲线的反算思想，先对给定型值点进行u向反算，反算得到一组控制点，通过升阶使控制点数相等，再以此控制点为型值点进行v向反算，具体步骤如下：a）以U向截面数据点（型值点）及端点u向切矢，应用B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控

5、制顶点：b）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用曲线反算，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即：为“数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点三次B样条插值曲面的控制顶点。，即为所求双11.4NURBS曲面追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之

6、一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。（目前β样条表达能力更强，但控制参数更多）11.5其他表达方式二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。Quadricsurfacesuperquadricsuperquadrictoroidssuperquadricellipsoidssuperquadric曲面在商用CAD系统应用相对较少，但在动画软件中常用隐式曲面Implicit Surface隐式曲面是元球(

7、metaball)的更一般形式，它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。偏微分方程（PDE）曲面PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。等距曲面（Offset）F（u，v）＝S（u，v）+dNS（u，v）细分曲面前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比较规则。而实际工程中会有各种不规则的曲面，很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。这些不规则的曲面往往是由规

8、则曲面裁剪而成，裁剪操作的关键在于曲面的求交，如图：11.6曲面求交算法介绍当前的CAD系统，大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中，零件形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、Bezier曲线、B样条、NUR