自由曲线与曲面(II)

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1、第五讲自由曲线与曲面（二）Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用2Bezier曲线（1/19）Bezier基函数--Bernstein多项式的定义三次Bézier曲线的四个混合函数3Bezier曲线（2/19）Bernstein基函数的性质正性权性对称性降阶公式升阶公式4Bezier曲线（3/19）导数积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基5Bezier曲线（4/19）Bezier曲线的定义n

2、次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形P0P1P2P36Bezier曲线（5/19）Bezier曲线的性质端点位置P0P1P2P37Bezier曲线（6/19）端点切矢量导数曲线P0P1P2P38Bezier曲线（7/19）对称性不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变9Bezier曲线（8/19）凸包性点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内10Bezier曲线（9/19）多值性P4P1P4P2P0=P

3、5P311Bezier曲线（10/19）几何不变性平面曲线的变差缩减性12Bezier曲线（11/19）二次Bezier曲线n=2抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)13Bezier曲线（12/19）三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)14Bezier曲线（13/19）三次Bezier曲线的矩阵表示15Bezier曲线（14/19）递推公式--DeCasteljau算法计算过程几何解释16Bezier曲线（15/19）曲线的拼接17Bezier曲线（16/19）零阶几何连续条件一阶几

4、何连续条件二阶几何连续条件？三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧自学18反求控制顶点给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点Bezier曲线（17/19）19优点：形状控制直观设计灵活Bezier曲线（18/19）20缺点：所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线（19/19）21B样条曲线（1/17）产生：1

5、946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线优于Bezier曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便22B样条曲线（2/17）定义：给定m+n+1个空间向量，(k=0,1,…,m+n)，称n次参数曲线为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m）它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-

6、1连续性23B样条曲线（3/17）为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段基函数为B样条函数24B样条曲线（4/17）二次B样条n=2抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)25B样条曲线（5/17）三次B样条n=3P(t)B0B1B2B326B样条曲线（6/17）三次B样条的C2连续性如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？P(t)P427B样条曲线（7/17）特殊外形设计三顶点共线位于控制多边形边上的一个点P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)28B样条曲线（8/17）特殊外

7、形设计四顶点共线含有直线段的曲线P0P3P1P2P(0)M1P(1)M229B样条曲线（9/17）特殊外形设计两顶点重合P0P2P1MP’(0)P0P2MP1P(0)P(0)30B样条曲线（10/17）特殊外形设计两顶点重合相切于控制多边形边的曲线P2P5P1P0P4P331B样条曲线（11/17）特殊外形设计三顶点重合含有尖点的曲线P2P6P1P0P4P3P532B样条曲线（12/17）特殊外形设计如何构造通过控制多边形某一顶点的B样条曲线？提示：将控制多边形的首尾两条边各延长1/6，将新的顶点置为二重顶点将控制多

8、边形的首尾两条边各延长1/2，利用三点共线33B样条曲线（13/17）在数据拟合中的应用给定一组离散的型值点列，如何构造一条通过该组型值点的B样条曲线？原问题：给定控制顶点，计算曲线上的点34B样条曲线（14/17）目标：构造三次B样条曲线通过型值点Pi，i=1,2,…,n-1根据三次B样条曲线端点性质补充两个边界条件追赶法求解35B样条曲线（