2019-2020年高中数学 第三章《空间向量与立体几何》单元检测 苏教版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学第三章《空间向量与立体几何》单元检测苏教版选修2-1一、知识点梳理设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：1．设直线所成的角为，则：2．设直线与平面所成的角为，则：3．设平面所成的二面角的大小为则：①若，②若，二、学法指导1．平面法向量的基本概念．法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的．2．平面法向量的基本计算．根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为(x，y，z)，在已知平面内寻找两条相交直线a，b，并用向量表示它们．由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零

2、列出方程组．由于有三个未知数x，y，z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个．3．平面法向量的基本应用．在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角(利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余)；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角(同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可)．4．关于空间向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法

3、向量展开的．在绝大部分题目中，空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题(面面垂直基本类似)；二、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化(线面角与此类似)．而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的．三、单元检测(一)填空题(每小题5分，共70分)1．已知向量，且与互相垂直，则的值是．2．已知，则与的数量积等于．3．已知向量，则与的夹角为．4．在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．其中正

4、确命题的个数为．5．直三棱柱中，若，，，则．6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是三角形．7．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是．8．已知向量，若∥，则与的值分别是．9．(如图)一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为．10．已知为夹角，则=　　　．11．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为　　　　．12．如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则　　　　　．13．如图4，在长方体中，，，点在棱上移动，则当等于　　　　时

5、，二面角的大小为．14．已知正方形的边长为4，分别是的中点，平面，且，则点到平面的距离为．(二)解答题(共90分)15．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，取如图所示的空间直角坐标系．(1)写出的坐标；(2)求与所成的角的余弦值．16．在正方体中，如图分别是的中点，(1)求证：平面；(2)．17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．(1)证明平面；(2)证明平面．18．如图，四边形是直角梯形，，平面，．(1)求与平面所成的角余弦；(2)求平面和平面所成角的余弦．19．如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．(1)求证：平面；(2)当时，求直线与平面

6、所成角的大小；(3)当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心?20．是平面外的点，四边形是平行四边形，．(1)求证：平面;(2)对于向量，定义一种运算：，试计算的绝对值;说明其与几何体的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义．单元检测8、、；9、；10、；11、；12、；13、；14、15、解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)------4分(2)∵＝(0,-2,2)，＝(0,1,2)∴

7、

8、＝2，

9、

10、＝，·＝0－2＋4＝2,∴cosá，ñ＝＝＝．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为．------14分16、解：建立如图所示的直

11、角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），则＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），则＝0，＝0，，.平面ADE.------8分（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），＝－1＋0－＝－，，，则cos.------14分17、解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.依题意得底面A