2019-2020年高中数学 导数概念及运算解析 新人教A版选修1-1

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1、2019-2020年高中数学导数概念及运算解析新人教A版选修1-1问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？知识诊断：导数的定义：一般的设函数在区间上有定义，，当时，比值趋近于常数，则在点处可导，并称常数为函数在点处的导数，记作。导函数：函数在区间上任一点都可导，则在各点的导数称为导函数简记为.典例分析;例题1：设函数在处可导，则等于　　A．B．C．D．【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算[解析].故选【技巧指引】求解本题的关键是变换出定义式导数的几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过

2、点（x0，y0）的切线的斜率，对应的切线方程为。物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的瞬时速度。注意：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。而且应明确点（x0，y0）不一定是切点。典例分析：例题1：如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则=.【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上.解析:观察图形,设,过P点的切线方程为即它与重合,比较系数知:故=2例题2：求在点和处的切线方程。【解题思路】：点在函

3、数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：．设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：【技巧指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．例题3：一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解

4、题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.:解析：加速度v=(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【技巧指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是1.计算2.计算变式练习：1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程是，则在t=1s时的

5、瞬时速度为（）A．－1B．－3C．7D．13解:B点拨:计算即可3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4②∵两切线重合，∴2x1=－2(x

6、2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.问题3：导数运算的基本法则是什么？知识诊断;1、几种常见函数的导数（为常数）；（）；；；；；；.2、导数的运算法则：1、；；.2、复合函数的求导法则：或典例分析：例题1：求下列函数的导数：（1）　（2）　　（3）【解题思路】按运算法则进行[解析]（1）（2）（3）例题2：.已知,则.【解题思路】复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的

7、同学忽视了,导致错解为:.设,,则.【技巧指引】注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.例题3：已知函数（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】求导运算后求切线方程：先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则又，所以所求切线的方程为：即【技巧指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.例题4：某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可

8、近似地表示为,则在时刻的降雨强度为()A.B.C.D.【解题思路】求导运算后的小应用题：先对的求导,再代的数值.解析:选D【技巧指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.变式练习：1.设函数，且，则A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由