《单变量卡方分布》PPT课件

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1、1第二章卡方分布及正态总体方差的推断第一节卡方分布一、数学形式1.定义设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N(μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方（χ2）。我们把随机变量χ2的概率分布称为χ2分布，其概率密度记作。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。2、理解卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。实质：以Z分数测量的变量，将其值平方并加总后形成的概率分布。（若干个Z变量的平方和）自由度（ν）：Z变量的个数卡方分布与Z分布关系：Z值=自由度为1的卡方值的平方根Z=√χ2;1df

2、4二、卡方分布的性质（1）右偏性。（2）渐近性。随着自度由的增加，图形渐趋对称。当自由度逐渐变大时，卡方分布会趋近于正态分布。（3）恒正性。因为其值经过平方，所以卡方值都是正值，没有负值。（4）自由性。卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数μ和σ无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。卡方分布的期望值是自由度k，方差为2k。（5）可加性。5注意写法的含义：它表示自由度为k的卡方分布，当其分布函数时，其随机变量χ2的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上卡方分布随机变量χ2的临界值。三、卡方分

3、位点关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临界概率α(0＜α＜1)，给出了满足下面概率式的χ２α（K）的值(参见图)。χ20.1;8=13.3620χ20.05;8=15.5070表示当一个卡方变量有8个自由度，卡方值超过13.3620的概率（α）为0.1，超过15.5070的概率（α）为0.05。χ2分布α分为点的求法χ2分布α分为点的求法：对于n≤45的α分为点可查表求得；当n充分大（n>45）时，近似地有其中uα为标准正态分布上的α分为点[例2]已知k＝5，χ２α（5）＝15，求临界概率α。[解]查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数值是15．086，

4、得到α的近似值为0．01。由此可知P（χ２≥χ２0.01；5）≈0.01．例3:解:9第二节正态总体的样本方差分布定理及其推断一、样本方差分布定理定理内容：在正态总体中，所有可能样本的方差分布服从卡方分布。换句话说，正态总体中样本方差与总体方差之比服从卡方分布。或式中：σ2代表总体方差，自由度为n―l。[例]由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知σ2＝6，求样本方差S2在3.3到8.7之间的概率。二、正态总体方差的区间估计由χ2分布的性质，我们知道有因此，对于给定的置信水平1－α，总体方差的区间估计为[例]研究者调查某社区居民家庭收入情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为S＝200(元

5、2)，试以90％的置信水平估计居民总体家庭收入之方差的置信区间。三、单正态总体方差的假设检验例：某研究人员为了证实六级小学生智商的标准差是小于15的。从总体中随机抽取了30名学生，其结果有：平均智商x=105；样本方差：S2=196。问该研究人员的看法能否被证实（α=0.01）？