全国通用版2019版高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案理

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1、全国通用版2019版高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案理导数的基本运算原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝∴tanx＝－3.2．若函数f(x)＝2x＋lnx且f′(a)＝0，则2aln2a＝(　　)A．－1B．1C．－ln2D．ln2解析：选A　f′(x)＝2xln2＋，由f′(a)＝2

2、aln2＋＝0，得2aln2＝－，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.导数的几何意义[过双基]函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．　　1.(xx·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)A．－1B．0C．2D．4解析：选B　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线

3、的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.2．设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝03．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y′＝4x，设切点为(m，n)，则4m＝2，所以m＝，则n＝2×2＝，则切点的坐标为.答案：4．函数y＝f(x)的图象在点M(

4、1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，所以f′(1)＝3，且f(1)＝3×1－2＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)A．－1或－B．－1或C．－或－D．－或7解析：

5、选A　因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.2.(xx·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．解析：因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为

6、3＋a，所以解得答案：3利用导数研究函数的单调性[过双基]1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求f′(x)．(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．　1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是(　　)A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1)和(

7、2，＋∞)解析：选A　解f′(x)＝6x2－18x＋12<0可得10时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．3．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)