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1、2019-2020年高考数学二轮复习题型专项训练7立体几何解答题专项理1.(xx浙江湖州高三期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是正三角形,且A1A=AB,顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心.(1)求证:AA1⊥BC;(2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,AB=BC=CD=1,DA=2,DP⊥平面ABP,O,M分别是AD,PB的中点.(1)求证:PD∥平面OCM;(2)若AP与平面PBD所成的角为60°,求线
2、段PB的长.3.在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC.(1)求证:AE⊥BD;(2)若DB=2DC=AB=2,且二面角A-BD-C为60°,求AD与平面BCD所成角的正弦值.4.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的大小为60°.(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;(2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.5.如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=5,AD=4,BD=3,将△BCD沿着BD翻折到平面BC1D处(不与平面AB
3、CD重合),E,F分别为对边AB,C1D的中点.(1)求证:EF⊥BD;(2)若异面直线EF,BC1所成的角为30°,求二面角C1-AB-D的平面角的正切值.6.(xx浙江台州实验中学模拟)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)点E是线段DB上的一动点,当二面角E-AM-D大小为时,试确定点E的位置.参考答案题型专项训练7 立体几何(解答题专项)1.(1)证明如图,设O为底面三角形的中心,∵A1O⊥
4、底面ABC,∴A1O⊥BC,∵△ABC为正三角形,连接AO交BC于点D,则AD⊥BC,又AD∩A1O=O,∴BC⊥平面A1AD,则AA1⊥BC.(2)解取B1C1的中点D1,连接A1D1,DD1,由(1)知,BC⊥平面ADD1A1,∴平面ADD1A1⊥平面BB1C1C,且平面ADD1A1∩平面BB1C1C=DD1,过点A1作A1H⊥DD1,垂足为H,连接BH,则∠A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角.设A1A=AB=2a,可得A1O=a,由AD·A1O=AA1·A1H,得A1H=a.在Rt△A1H
5、B中,sin∠A1BH=.∴直线A1B与平面BCC1B1所成角为45°.2.(1)证明连接BD交OC于点N,连接MN,OB.因为O为AD的中点,AD=2,所以OA=OD=1=BC.又因为AD∥BC,所以四边形OBCD为平行四边形,所以N为BD的中点,因为M为PB的中点,所以MN∥PD.又因为MN⊂平面OCM,PD⊄平面OCM,所以PD∥平面OCM.(2)解由四边形OBCD为平行四边形,知OB=CD=1,所以△AOB为等边三角形,所以∠A=60°,所以BD=,即AB2+BD2=AD2,即AB⊥BD.因为DP
6、⊥平面ABP,所以AB⊥PD.又因为BD∩PD=D,所以AB⊥平面BDP,所以∠APB为AP与平面PBD所成的角,即∠APB=60°,所以PB=.3.(1)证明如图,取BD的中点F,连接EF,AF,∵E为BC的中点,F为BD的中点,∴FE∥DC.又BD⊥DC,∴BD⊥FE.∵AB=AD,∴BD⊥AF,又AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AFE,∴BD⊥平面AFE,AE⊂平面AFE,∴AE⊥BD.(2)解由(1)知BD⊥AF,∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角.∴∠AFE=60°.∵AB=AD,DB=A
7、B=2,∴△ABD为等腰直角三角形,故AF=BD=1,又FE=DC=,∴AE2=AF2+FE2-2AF·FE·cos∠AFE=1+-2×1××cos60°=,即AE=,∴AE2+FE2=1=AF2,∴AE⊥FE,又由(1)知BD⊥AE,且BD∩FE=F,BD⊂平面BDC,FE⊂平面BDC,∴AE⊥平面BDC,∴∠ADE就是AD与平面BCD所成角.在Rt△AED中,AE=,AD=,∴AD与平面BCD所成角的正弦值sin∠ADE=.4.(1)证明由⇒AC⊥平面PBD,又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面P
8、BD,即平面PBD⊥平面PAC.(2)解∠PDB就是P-AC-B的平面角,得∠PDB=60°.作BO⊥PD于点O,连接AO,则AC⊥BO,又AC∩PD=D,∴BO⊥平面PAC,∴∠BAO就是直线AB与平面PAC所成的角.令AB=2a,则BD=a,BO=BD=a,∴sin∠BAO=.5.(1)证明连接CC1,并取CC1的中点M,连接FM,BM.因为F为C1D的中点,所以FM∥DC且FM=DC.因为四边形ABCD为平行四边形,所以
