八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 1 两数和乘以这两数的差学案 （新版）华东师大版

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1、12.3　乘法公式1　两数和乘以这两数的差课前知识管理1、两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2所以，我们把这个公式叫作平方差公式.平方差公式可以形象记忆为：(□+△)(□—△)=□2—△2.几何背景：如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2.　　若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ＝SⅠ+SⅣ＝（a+b）（a－b），从而验证了平方差公式（a+b）（a－b）＝a2－b2.2、平方差公式的特征：（1

2、）公式左边的两个因式都是二项式，必须是相同的两数的和与差.或者说两个二项式必须有一项完全相同，另一项只有符号不同.（2）公式中的a与b可以是数，也可以换成一个代数式.名师导学互动典例精析：知识点1：直接应用平方差公式例1、计算：．【解题思路】此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项，另外一项－与互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式．【解】=．【方法归纳】将两个括号内的相同项看作□，符号相反的项－与看作△，就可以直接运用平方差公式.对应练习：计算(y—2x)(—2x—y

3、).知识点2：连用平方差公式化简例2、化简：.【解题思路】本题的前两项能利用平方差公式得到，它与第三项又能构成平方差公式，依次类推，较轻松地得到结果.【解】原式===【方法归纳】连用平方差公式使运算量大大减小，实现简算目的.对应练习：计算：知识点3：分组后运用平方差公式例3、计算:(2a+3)(3a+5)(2a-3)(3a-5).【解题思路】若直接运算,则计算比较繁琐,如果运用乘法的交换律将第一、三结合，第二、四结合分组，就可以利用乘法公式计算.【解】(2a+3)(3a+5)(2a－3)(2a－5)=[(2a+

4、3)(2a－3)][(3a+5)(3a－5)]=(4a2-9)(9a2－25)=36a4－181a2+225.【方法归纳】根据算式中各因式的特征，恰当分组后利用乘法公式可以简化计算，减少运算量.对应练习：计算：(x+2)(x2+4)(x—2).知识点4：添项后运用平方差公式例4．计算；．【解题思路】本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算．【解】原式＝＝＝．【方法归纳】本题的解题关键是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．对应练习：某同学在计算时，把写成

5、后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：.请借鉴该同学的经验，计算：.知识点5：逆用平方差公式例5．计算：【解题思路】若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“”与“”分别视为平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便．解：.【方法归纳】本题正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单．对应练习：计算：.知识点6：变形后运用平方差公式例6.计算.【解题思路】注意到93接近整百数100，二者相差7，若使用数字93、7巧构平方差公式便可实现简算.【解】.【方法归纳】

6、公式可以变形为.对应练习：计算：知识点7：拆项变形后使用例7、计算(x-y+1)(x+y-5).【解题思路】观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.解：(x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]=(x-2)2-(y-3)2=x2-4x+4-y2+6y-9=x2-y2-4x+6y-5.【方法归纳】拆项的关键在于将两个因式中的相同项、相反项正确分析出来，并恰当分组，使之符合平方差公式的结

7、构特征.对应练习：易错警示例8、计算：(2x+3)(2y-3).错解：(2x+3)(2y-3)=4xy-9.错解分析：(2x+3)(2y-3)中的两个因式不符合“两个数的和与这两个数的差的积”，因此不能用平方差公式做，只能按多项式乘以多项式的法则进行运算．正解：(2x+3)(2y-3)=4xy-6x+6y-9.例9、(2x+9)(2x-9).错解：(2x+9)(2x-9)=4x2-9.错解分析：(2x+9)(2x-9)应等于2x与9的平方差，即(2x)2-92，错解中没有把第二项9平方，当第二项是完全平方数时，

8、很容易犯这样的错误．正解：(2x+9)(2x-9)=(2x)2-92=4x2-81.例10、(a3-8)(a3+8).错解：(a3-8)(a3+8)=a9-64.错解分析：(a3-8)(a3+8)中(a3)2=a6，而(a3)2≠a9.正解：(a3-8)(a3+8)=(a3)2-82=a6-64.例11、(-2a-7)(2a-7)．错解：(-2a-7)(2a-7)＝4a2-49.错解分