[高等代数(下)课外习题 第六章 向量空间]

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1、第六章向量空间一、判断题1.为的子空间.().2、所有阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间的子空间.().3、维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基.().4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝.5、子空间的维数等于向量组的秩（）6、为的基，为中向量，且，则为的基当且仅当可逆。（）7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同.（）8.设是向量空间的一个基,是到的一个同构映射,则的一个基是.9、.如果向量空间是3维的，那么中任意4个向量必是线性相关的()。10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间()。11、线性空间的一组基所含向量

2、的个数是该空间的维数.12、设，均为线性空间V的子空间，满足，则。().14．若，是的基，是的基，则是的基.二、填空题1、复数域作为实数域上的向量空间,维数等于______,它的一个基为_______.2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________.3、若，则;4、若，则;5、中由基到基的过渡矩阵是,在这两组基下的坐标分别是,.6、子空间的维数=;7、设基，则由基的过渡矩阵T=；8、在中，已知，，，是的基，那么，在该基下的坐标为。9、设是方程组解空间，是方程组那么∩是方程组的解空间。10、设。三、选择题1、R3中下列子集（）不是R3的子空间．(A)．(B)．(C)

3、．(D)．2、设向量组M为四维向量空间R4的一个基，则（）必成立。(A).M由四个向量组成(B).M由四维向量组成(C).M由四个线性无关的四维向量组成(D).M由四个线性相关的四维向量组成3、若W1,W2都是维线性空间V的子空间，那么（）(A)维W1+维(W1ÇW2)=维W1+维(W1+W2)；(B)维(W1+W2)=维W1+维W2；(C)维W1+维(W1+W2)=维W1+维(W1ÇW2)；(D)维W1+维(W1ÇW2)=维(W1+W2)-维W2。4、设为线性空间的一组基,则的维数是()(A).(B).(C).(D).不确定5、设是数域上线性空间V的向量，，如果是零向量，那么

4、（）（A）仅当时（B）时可能有（C）仅当时（D）或时6、设是数域上线性空间V的向量，则（）（A）当时线性无关。（B）当时是V的基。（C）当时线性相关。（D）当时可能线性无关。7、是的子向量，则（）（A）1（B）2（C）3（D）48、设V是数域上维线性空间，是V的子向量，则（）（A）（B）的基的并集所含的向量是V的基。（C）（D）9、若是V的子空间，且则（）（A）.（B）.（C）（D）是V的子空间。10、由3阶对称矩阵构成的子空间的维数是（）；（A）9（B）6（C）2（D）3四、计算题1、下列子空间的维数是几?;2、证明是R3的一个基，并求在这个基下的坐标。3、设求和.其中;4、

5、在向量空间中,求由向量生成的子空间的一个基和维数.5、设，是齐次方程的解空间，求+，的一组基和维数。6、.求实数域上关于矩阵的全体实系数多项式构成的向量空间的一个基与维数.其中7、在线性空间中，1）求的维数与一组基.2）求的维数与一组基.8、设为数域上全体次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间,考虑如下的生成子空间,其中,=,,其中,求+,的各一组基.9、设是矩阵，其中（a）求行列式的值，这里表示矩阵A的行列式；(b)设，求W的维数及W的一组基。10、设V是数域F上x的次数小于n的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换A，使，其中表示f(x)的导数，求A的核与值域

6、，并证明线性空间V是与AV的直和。五、证明题1、设为向量空间的两个子空间.证明:是的即含又含的最小子空间.2、证明:维向量空间中,任意个线性无关的向量都可作为的一个基.3、设维向量空间的向量组的秩为,使得全体维向量的集合为.证明是的维子空间.4、设为向量空间的一个基,令且.证明.5、证明:是的一个基,并求关于这个基的坐标.6、设，如果，并且，那么7、设分别是齐次线性方程组与的解空间.证明:..8、证明每一个维向量空间都可以表成个一维子空间的直和.9、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令证明：1、2皆为的子空间，且10、设，记，证：。