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1、第3课时 函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数的概念图像关于对称的函数叫做奇函数．图像关于对称的函数叫做偶函数．原点y轴2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于对称；(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝且f(－x)＝，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函
2、数．原点－f(x)f(x)－f(x)f(x)【思考探究】奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称；必要不充分条件．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小1．对任意实数x，下列函数中为奇函数的是()
3、A．y＝2x－3B．y＝－3x3C．y＝5xD．y＝－
4、x
5、cosx答案：B答案：B3．已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2013)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2013)＝f(503×4＋1)＝f(1)＝2.答案：B答案：坐标原点5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.答案：－11．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步
6、骤(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数．(2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．2．对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行化简或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．对于分段函数的奇偶性的判断应分段逐一判断，然后统一下结论．解析：(1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝
7、－x
8、[(－x)2＋1]＝
9、x
10、(x2＋1)＝f(x)，
11、∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数的定义域为{x
12、x≠0}关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即函数是奇函数．解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－
13、1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．【变式训练】2.(1)奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解是________．(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．解析：(1)由奇函数图象对称性质补出其在[－5,0)上的图象，由图象知解集为(－2,0)∪(2,5]．(2)由已知f(x
14、)在[0，＋∞)上为增函数，且f(a)＝f(
15、a
16、)，∴f(a)≥f(2)⇒f(
17、a
18、)≥f(2)，∴
19、a
20、≥2得a≥2或a≤－2.答案：(1)(－2,0)∪(2,5](2)a≤－2或a≥2设f(x)是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f
21、(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数．∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝
