2019-2020年高考数学专题复习导练测 第七章 第4讲 基本不等式 理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学专题复习导练测第七章第4讲基本不等式理新人教A版一、选择题1．若x＞0，则x＋的最小值为(　　)．A．2B．3C．2D．4解析　∵x＞0，∴x＋≥4.答案　D2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)．A.B．4C.D．5解析　依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案　C3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

2、＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.答案　A4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)．A.＋有最大值4B．ab有最小值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值解析　由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤＝，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．答案　C5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－

3、4,2)解析　∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40)，l1与函数y＝

4、log2x

5、的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝

6、log2x

7、的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为(　　)．A．16B．8C

8、．8D．4解析　如图，作出y＝

9、log2x

10、的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知

11、log2xA

12、＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.答案　B二、填空题7．设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析　依题意有(2x＋y)2＝1＋

13、3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即

14、2x＋y

15、≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值.答案　8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析　假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．假设P点的坐标为，则

16、PQ

17、＝2

18、OP

19、＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．答案　49．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是______

20、__．解析　由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，则ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒≥3，∴ab≥9.答案　[9，＋∞)10．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0

21、仅当a＝b时等号成立，＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时等号成立．12．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解　(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u

22、＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.13．设f(x)＝(x>0)．(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)