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时间:2019-11-09
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1、2019-2020年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件学案理[知识梳理]1.命题2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.(3)写一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;②当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;③对于有多个并列条件的命题,应把其中一个作为大前提.3.充要条件(1)集合与充要条件(2)充分条件与必要条件的两个特征
2、①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).[诊断自测]1.概念思辨(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )(2)命题“若p,则q”的否定是“若綈p,则綈q”.( )(3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )(4)“x>-1”是“x>0”的充分不必要条件.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)
3、× 2.教材衍化(1)(选修A2-1P8T2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数答案 C解析 若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.故选C.(2)(选修A2-1P10T4)x2-3x+2≠0是x≠1的________条件.答案 充分不必要解析 若x2-3
4、x+2≠0,则x≠1且x≠2,此时充分性成立,当x=2时,满足x≠1,但此时x2-3x+2=0成立,即必要性不成立,即x2-3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件.3.小题热身(1)(xx·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 解法一:∵数列{an}是公差为d的等差数列,∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.若d>0,
5、则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,即S4+S6>2S5.若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d,∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.解法二:∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.(2)(xx·山东潍坊高三期末)命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个
6、答案 B解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或5.故其逆命题:“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.故选B.题型1 四种命题的关系及真假判断 已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+
7、∞)上是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断.答案 D解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1.因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.故选D. (xx·黄梅期末)给出下列命题:①命题“若b2-4ac<0,则方程ax
8、2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;②命题“△ABC中,AB=BC=CA
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