2019-2020年高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题课时2范围、最值问题文

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题课时2范围、最值问题文题型一　范围问题例1　(xx·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，FM＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解　(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,

2、0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).由已知，有2＋2＝2，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立.消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.设

3、直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参

4、数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.　已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围.解　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0).由已知得：a＝，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2

5、＝1.(2)联立整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴可得m2>3k2－1且k2≠，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝＝，∴y0＝kx0＋m＝.由题意，AB⊥MN，∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0).整理得3k2＝4m＋1，②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.∴m的取值范围是∪(4，＋∞).题型二　最值问题命题点1　利用三角函数有界性求最值例2　过抛物线y2＝4

6、x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则AF·BF的最小值是________.答案　4解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得AF＝，BF＝，则AF·BF＝·＝≥4.命题点2　数形结合利用几何性质求最值例3　(xx·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________________.答案　解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到

7、直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4　设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值.解　(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由⇒故椭圆M的方程为＋＝1.(2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

8、1x2＝，∴AB＝

9、x1－x2

10、＝·＝·＝·.又P到直线AB的距离d＝，则S△PAB＝·AB·d＝···＝＝≤·＝，当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号，∴(S△PAB)max＝.思维升华　处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法