算法大全第22章--模糊数学模型

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1、第二十二章模糊数学模型§1模糊数学的基本概念1.1模糊数学简介1965年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并在国际期刊《InformationandControl》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“FuzzySets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不

2、好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象

3、到模糊现象。实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。1.2基本概念1.2.1模糊集和隶属函数定义1论域X到[0,1]闭区间上的任意映射μ：X→[0,1]A-257-x→μ(x)A都确定X上的一个模糊集合A，μ叫做A的隶属函数，μ(x)叫做x对模糊集A的AA隶属度，记为：A={(x,μ(x))

4、x∈X}A使μ(x)=0.5的点x称为模

5、糊集A的过渡点，此点最具模糊性。A0显然，模糊集合A完全由隶属函数μ来刻画，当μ(x)={0,1}时，A退化为一AA个普通集。1.2.2模糊集合的表示方法当论域X为有限集时，记X={x,x,L,x}，则X上的模糊集A有下列三种常12n见的表示形式。i)zadeh表示法当论域X为有限集时，记X={x,x,L,x}，则X上的模糊集A可以写成12nnμ(i)μ(x)μ(x)μ(x)AA1A2AnA=∑=++L+i=1xix1x2xnμ(x)Ai注：“∑”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“”不是xi分数，它

6、表示点x对模糊集A的隶属度是μ(x)。iAiii)序偶表示法A={(x,μ(x)),(x,μ(x)),L,(x,μ(x))}1A12A2nAniii)向量表示法A=(μ(x),μ(x),L,μ(x))A1A2An当论域X为无限集时，X上的模糊集A可以写成-258-μ(x)AA=∫xx∈Xμ(x)Ai注：“∫”也不是表示积分的意思，“”也不是分数。xi例1设论域X={x(140),x(150),x(160),x(170),x(180),x(190)}(单位:123456cm)表示人的身高，X上的一个模糊集“高个子”(

7、A)的隶属函数μ(x)可定义为Ax−140μ(x)=A190−140用zadeh表示法，00.20.40.60.81A=+++++xxxxxx123456用向量表示法，A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)例2设论域X=[0,1]，Fuzzy集A表示“年老”，B表示“年轻”，Zadeh给出A、B的隶属度函数分别为⎧00≤x≤50⎪A(x)=⎨x−50−2−1⎪[1+()]50

8、年老”的程度为0.94。又易知A(60)≈0.8，B(60)≈0.02，可认为“60岁”是“较老的”。x−50−2−1[1+()]1005A＝“年老”＝∫50x-259-x−252−1[1+()]2511005B＝“年轻”＝∫+∫0x25x1.2.3模糊集的运算常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy集之间的运算。定义2对于论域X上的模糊集A，B，其隶属函数分别为μ(x)，μ(x)。ABi)若对任意x∈X，有μ(x)≤μ(x)，则称A包含B，记为B⊆A；BAii)若A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记为A=B。

9、定义3对于论域X上的模糊集A，B，i)称Fuzzy集C=AUB，D=AIB为A与B的并（union）和交（intersection），即C=(AUB)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)∨B(x)D=(AIB(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)∧B(x)他们相应的隶属度μ(x),μ(x)被定义为CDμ(x)=max{μ(x),μ(x)}C